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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Mengen

Regeln für Mengenoperationen

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Für Mengenoperationen gelten die folgenden Identitäten.

Diese Regeln entsprechen den Gesetzen für logische Operationen, wenn man die Operatoren $ \cup,\cap$ durch $ \land,\lor$ ersetzt und $ C\backslash$ durch $ \lnot$.

Exemplarisch wird die erste De Morgansche Regel bewiesen. Es gilt

$\displaystyle x\in C\backslash ( A\cap B)$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x\in C\,\land x\notin (A\cap B)$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x\in C\,\land (x\notin A \lor x\notin B) \,.$  

Nach den Distributivgesetzen ist der letzte Ausdruck äquivalent zu

$\displaystyle (x\in C\land x\notin A) \lor (x\in C \land x\notin B) \Leftrightarrow x \in (C\backslash A \cup C\backslash B) \,, $

womit die behauptete Identität gezeigt ist.
(Autor: K. Höllig)
Mit den De Morganschen Regeln folgt beispielsweise
$\displaystyle C\setminus (A\cap C)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (C\setminus A)\cup (C\setminus C)\;=\;(C\setminus A)\cup \emptyset\;=\;C\setminus A\,,$  
$\displaystyle C\setminus (A\cup C)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (C\setminus A)\cap (C\setminus C)\;=\;(C\setminus A)\cap \emptyset\;=\;\emptyset \,.$  

Aus den Distributivgesetzen folgt beispielsweise
$\displaystyle (A\cup B)\cap B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\cap B)\cup (B\cap B)\;=\;(A\cap B)\cup B\,.$  

Hierbei gilt $ (A\cap B)\cup B=B$, da $ (A\cap B)\subseteq B$.
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  automatisch erstellt am 23.10.2009