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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Mengen

Kartesisches Produkt


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Das kartesische Produkt zweier Mengen $ A$ und $ B$ ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen:

$\displaystyle A\times B = \{(a,b):\ a\in A\land b\in B\}
\,.
$

Es gilt

$\displaystyle (a,b) = (a',b') \Leftrightarrow
(a=a' \land b=b')
\,.
$

d.h. im Gegensatz zu der Gleichheit von Mengen ( $ \{a,b\}=\{b,a\}$) ist die Reihenfolge wesentlich.

Für endliche Mengen gilt $ \vert A \times B\vert = \vert A\vert \cdot \vert B\vert$.

Entsprechend definiert man das $ n$-fache kartesische Produkt

$\displaystyle A_1\times \cdots \times A_n
$

als die Menge aller geordneten Tupel $ (a_1,\ldots,a_n)$ mit $ a_i\in A_i$. Sind die Mengen gleich, so schreibt man $ A^n = A\times \cdots \times A$.
Die Eckpunkte eines Würfels lassen sich als $ 3$-faches kartesisches Produkt der Menge $ M=\{0,1\}$ mit sich selbst beschreiben, denn $ M  M  M = \{(m_1,m_2,m_3) \vert (m_1 \in M) \land (m_2 \in M) \land (m_3 \in M) \}$
\includegraphics{wuerfel}
(Aus: Vorkurs Mathematik)

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  automatisch erstellt am 23.10.2009