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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Integralrechnung

Mercator-Projektion

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Die Stammfunktion

$\displaystyle \int \frac{dx}{\cos x} $

läßt sich mit der Substitution

$\displaystyle u=\frac{1}{\cos x}+ \tan x=\frac{1+\sin x}{\cos x}\,, \qquad du=\left(\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\frac{1}{\cos^2 x}\right)\,dx, $

berechnen:
$\displaystyle \int \frac{dx}{\cos x} $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int (\cos x)^{-1}\left(\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\frac{1}{\cos^2 x}\right)^{-1}\,du$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \frac{du}{u} \ = \ \ln \vert u\vert+c$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln \left\vert \frac{1}{\cos x} + \tan x \right\vert +c.$  

Eine Anwendung ist die Mercator-Projektion. Hierbei wird die Erdoberfläche winkeltreu auf eine Ebene projiziert.

\includegraphics[height=3cm]{bsp_mercator_bild1.eps}      \includegraphics[height=3cm]{bsp_mercator_bild2.eps}

Die Breitenkreise werden dabei mit dem Verhältnis $ 1/\cos \theta$ gestreckt.

(Autoren: Höllig/Kopf)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009