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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Integralrechnung

Volumen von Rotationskörpern

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Das Volumen $ V$ des durch Rotation des Funktionsgraphen $ r=f(x)\ge0$ , $ a\le x\le b$ , um die $ x$ -Achse erzeugten Körpers lässt sich durch Integration über die kreisförmigen Querschnitte berechnen:

$\displaystyle V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx\, . $

\includegraphics[width=11cm]{rotation_a.eps}

Alternativ kann man über die Zylindermäntel integrieren:

$\displaystyle V = \pi c^2 (b-a)+ 2\pi \int_c^d r h(r)\,dr\, , $

wobei $ c$ bzw. $ d$ der minimale bzw. maximale Radius $ r$ und $ h(r)$ die Gesamthöhe des in dem Körper enthaltenen Zylindermantels mit Radius $ r$ sind. Diese Variante ist vor allem bei monotoner Radiusfunktion $ f$ sinnvoll.

Das abgebildete Paraboloid entsteht durch Rotation der Kurve $ y=\sqrt{x}$ um die $ x$ -Achse.

\includegraphics[width=.4\textwidth]{paraboloid}

Gemäß der Formel für Rotationskörper ist das Volumen

$\displaystyle \pi \int_0^a \left(\sqrt{x}\right)^2 \,dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2}\right]_0^a = \frac{1}{2}\pi a^2\,. $

Alternativ erhält man durch Integration über Zylindermäntel

$\displaystyle 2 \pi \int_0^{\sqrt{a}} r(a - r^2) dr = 2 \pi \left[ -\frac{1}{4} (a - r^2)^2 \right]_0^{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \pi a^2\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009