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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Aufgaben und Test

Aufgaben

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Schon kurz nach Studienbeginn ist Freshman Felix überzeugt, zur Lösung der HM-Aufgaben einen High-End PC zu benötigen.

Kosten: 5000 DM - Sparbuchstand: 0 DM.

a)
Seine Bank bietet ihm einen Kredit, der durch $ 24$ gleich große Monatsraten getilgt werden soll. Die Restschuld wird monatlich mit $ 1\%$ verzinst; die erste Rate wird einen Monat nach Kreditaufnahme bezahlt. Wie hoch sind die Monatsraten $ r$ anzusetzen?

b)
Felix entschließt sich, den Kredit ohne Ratenzahlungen nach zwei Jahren zurückzubezahlen. Wie hoch ist diese Summe bei jährlicher, vierteljährlicher, monatlicher, täglicher oder stetiger Verzinsung mit $ 12\%$ bzw. $ 3\%$ bzw. $ 1\%$ ...? Bestimmen Sie jeweils den jährlichen Effektivzins.

Die Funktion $ f$ sei an einer Stelle $ x_0\in\mathbb{R}$ differenzierbar und genüge für alle $ x,y\in\mathbb{R}$ der Gleichung $ f(x+y)=f(x)+f(y)$.
a)
Zeigen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, dass $ f$ auf ganz $ \mathbb{R}$ differenzierbar ist.
b)
Beweisen Sie, dass eine Konstante $ a\in \mathbb{R}$ existiert mit $ f(x)=ax$ für alle $ x\in \mathbb{R}$.
(Autor: Joachim Wipper)
Ein Geländeprofil wird näherungsweise durch die Funktion

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -\frac{1}{15}\,x^2+\frac{1}{5}\,x ... ...frac{2}{5}\,x-\frac{3}{5}, & {\mbox{f\uml ur}} & x\in (3,6] \end{array}\right. $


beschrieben. Die beiden Berge sollen durch eine Seilbahn verbunden werden, die an beiden Enden tangential zur obigen Profilkurve verläuft (vgl.Abbildung).

\includegraphics[width=11cm]{g16_bild1}
Wo müssen die beiden Stationen $ A$ und $ B$ gebaut werden - und welche Länge hat die Seilbahnstrecke? Der Durchhang des Seils ist zu vernachlässigen.

(Autor: Apprich)
Differenzieren Sie:

a)     $ (\ln x)^{\ln x}$                  b)     $ \tan \frac{1+x}{1-x}$                  c)     $ \sqrt{x^2+\sqrt{x^2+1}}$
Gegeben sei die Funktion $ f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}$.
a)
Für welche $ x\in\mathbb{R}$ ist $ f$ definiert? Untersuchen Sie, wo $ f$ differenzierbar ist, und berechnen Sie $ f'(x)$.
b)
Welche Nullstellen und lokalen Extrema besitzt $ f$?
c)
Wie verhält sich $ f'$ am Rand des Definitionsbereichs?
d)
Skizzieren Sie den Graph von $ f$.

(Aus: Kimmerle/Roggenkamp/Rump, SS 1998)
Für $ m,n\in\mathbb{N}$ sei $ f$

$\displaystyle f(x)=x^m(1-x)^n, \qquad x\in\mathbb{R}\,. $

a)
Untersuchen Sie $ f$ auf Nullstellen und lokale Extrema. Wie verhält sich $ f(x)$ für $ x\longrightarrow\pm\infty$ ?
b)
Skizzieren Sie den Graph von $ f$ im Fall $ m=2$ und $ n=3$ .
c)
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $ f$ mit der $ x$ -Achse einschließt.
Seien $ f$ und $ g$ die durch $ f(x)=\sqrt{3+2x}-x$ und $ g(x)=\ln\,(f(x))$ gegebenen reellwertigen Funktionen.
a)
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von $ f$ und skizzieren Sie den Graph. Wür welche $ x$ ist die Funktion $ g$ definiert?
b)
Untersuchen Sie $ g$ auf Nullstellen, Asymptoten und lokale Extrema.
c)
Wie verhalten sich $ g$ und $ g'$ an den Randpunkten des Definitionsbereichs?
d)
Zeichnen Sie den Graph der Funktion $ g$ .
Hinweis: $ \ln 2\approx 0,69; \ \ln 3\approx 1,10$ .

(Aus: Kimmerle/Roggenkamp/Rump, SS 1998)

Die Vorderfront eines Gewächshauses soll die Form eines achsensymmetrischen Fünfecks mit drei rechten Winkeln besitzen (vgl.Abbildung). Der Umfang darf maximal 20m betragen. Wie ist die Breite $ b$ und Höhe $ h$ der Seitenwand zu wählen, damit die Fläche $ A$ der Vorderfront maximal wird?

\includegraphics[width=3.5cm]{g25_bild1}

(Autor: Apprich)
Welchen Weg muß ein Mensch im Punkt $ A$ einschlagen, um möglichst schnell zu der Insel $ I$ zu gelangen, wenn er fünfmal so schnell läuft, wie er zu schwimmen vermag?

\includegraphics[width=.7\linewidth]{A775_2_bild.eps}
Bilden Sie Stammfunktionen von

$\displaystyle {{a)}} \quad \frac{(\ln x)^3}{x} \qquad\qquad {{b)}} \quad \cos^3 x\, \sin^5 x \qquad\qquad {{c)}} \quad \sqrt{4-x^2} $

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe partieller Integration.

$\displaystyle {{a)}}\quad \int (\ln x)^2\, dx\qquad\qquad {{b)}}\quad \int\limits_0^{\pi}{\rm {e}}^x \sin x\, dx\qquad\quad {{c)}}\quad \int \cos^4 x\, dx $

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen:

$\displaystyle {\bf {a)}} \quad \int \frac{dx}{x\ln x} \qquad\quad {\bf {b)}} \q... ...c{x}{(x^2+1)^3}\,dx\qquad\quad {\bf {c)}} \quad \int \frac{dx}{\sin x\,\cos x} $

(Aus: Kimmerle/Roggenkamp/Rump, SS 1998)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009