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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Aufgaben und Test

Test

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Aufgabe 1:
Ein 1.90m großer Basketballspieler wirft mit einem Ball auf einen in 3.50m Höhe aufgehängten Korb (Abwurfwinkel $ \varphi=\pi/3$, Abwurfgeschwindigkeit $ v=8\,{\rm {m}}/{\rm {s}}$, Erdbeschleunigung $ g=10\,{\rm {m}}/{\rm {s}}^2$). In welcher Entfernung vom Korb muss er den Ball abwerfen, wenn sich dieser beim Eintreffen im Ziel bereits in der absteigenden Flugphase befinden soll?


Antwort: (auf ganze cm gerundet)

Entfernung: cm
(auf ganze cm gerundet)

Aufgabe 2:
Unter der Generationszeit von Bakterien versteht man das für die Verdopplung der Zellzahl erforderliche Zeitintervall $ T$ , das unter anderem von der Beschaffenheit des Kulturmediums abhängt.

Betrachtet werden Bakterien, die auf einem nährstoffreichen Kulturmedium die Generationszeit $ T_1=20$ Minuten und auf einem nährstoffarmen Kulturmedium die Generationszeit $ T_2=50$ Minuten besitzen. Die Anfanspopulation auf dem nährstoffarmen Kulurmedium sei zehnmal größer als die Anfangspopulation auf dem nährstoffreichen Medium. Nach wie viel Minuten sind die beiden Populationen gleich groß?


Antwort:


Minuten

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich $ D_f\subseteq\mathbb{R}$ und die erste Ableitung der folgenden Funktionen $ f:D_f\to\mathbb{R}$:
a)     $ f(x)=\dfrac{2+x}{3-x}$          b)     $ f(x)=\sqrt{1-e^x}$          c)     $ f(x)=\ln(2+\sin x)$

Antwort: (Angaben ganzzahlig mit kleinstem positivem $ c$)

a)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f^\prime(x) =$ $ \dfrac{b}{(c-x)^d}$          mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$

b)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f^\prime(x) =$ $ \dfrac{be^x}{c\sqrt{d(1-e^x)}}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$

c)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f^\prime(x) =$ $ \dfrac{b\cos x}{c+d\sin x}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktion

$\displaystyle f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{x} $

und skizzieren Sie den Graphen.


Antwort:
Nullstelle:
Polstelle:
Extremum: $ \Big($,$ \Big)$,          Typ: Minimum     Maximum ,          global: ja     nein
Wendepunkt: $ \Big($,$ \Big)$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Skizze:
Skizze 1 Skizze 2 Skizze 3 Skizze 4
\includegraphics[width=3cm]{a6_v2_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v3_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v1_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v4_l_bild.eps}

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Berechnen Sie

$\displaystyle {a)}\quad \int\limits_1^2 (x+1/x)^2\,dx \qquad \qquad {b)}\quad \int\limits_0^{k\pi} \cos x +\sin x\,dx\,,\ k\in \mathbb{N} \,. $

Antwort:
a)          b) $ k=1$: ,         $ k=2$:
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 6:
#./interaufg235.tex#Berechnen Sie

a)     $ \displaystyle\int\limits_0^\pi x \sin (2x)\, dx$                  b)     $ \displaystyle\int\limits_1^{\rm {e}} \ln x \,\frac{dx}{x}$                  c)     $ \displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+4} \,dx$

Antwort:
a) $ \,\pi/$         b) $ /$
c) $ \ln\Big\vert$$ x^2$ $ +$ $ x$ $ +$ $ \Big\vert$ $ +$ $ /$ $ \, \arctan\Big($$ x\,/$$ \Big) + c$
(Brüche gekürzt, Nenner positiv)

Aufgabe 7:
Durch Rotation des unten gezeigten Querschnitts um die $ x$-Achse entsteht eine (nicht sonderlich standfeste) Vase.



\includegraphics[width=\linewidth]{vase.eps}

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x+1}$  
$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x-2}$  

Wie schwer ist die Vase, wenn sie aus Glas der Dichte $ 2.5\,$g/cm$ ^3$ gefertigt wird?


Antwort:

$ m = $ g

(auf ganze Gramm gerundet)

   
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  automatisch erstellt am 23.10.2009