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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Lineare Gleichungssysteme

Elimination von Unbekannten bei linearen Gleichungssystemen

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Eine lineare Gleichung

$\displaystyle a_1x_1+a_2x_2+\dots=f $

mit $ a_1\neq 0$ lässt sich nach $ x_1$ auflösen:

$\displaystyle x_1=(f-a_2x_2-\cdots)/a_1\,. $

Bei linearen Gleichungssystemen kann damit die Anzahl der Unbekannten sukzessive reduziert werden, indem man die durch Elimination gewonnenen Ausdrücke in die anderen Gleichungen einsetzt.
Für das lineare Gleichungssystem

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} 2x & - & 3y &=& 1 \\ 5x & - & 4y &=& 6 \end{array}\end{displaymath}

erhält man aus der ersten Gleichung

$\displaystyle x=\frac{1+3y}{2} $

und nach Einsetzen in die zweite Gleichung

$\displaystyle 5\cdot\frac{1+3y}{2}-4y=6 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{7}{2}\,y+\frac{5}{2}=6 \quad\Leftrightarrow\quad y=1\,. $

Einsetzen in den Ausdruck für $ x$ ergibt schließlich

$\displaystyle x=\frac{1+3\cdot 1}{2}=2\,. $

(Autor: K. Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009