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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Lineare Gleichungssysteme

Gauß-Elimination


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Durch Gauß-Transformationen lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer $ (n\times n)$-Koeffizientenmatrix $ A$ in maximal $ n-1$ Schritten auf obere Dreiecksform bringen. Dazu werden sukzessive die Koeffizienten unterhalb der Diagonalen annulliert, d.h. nach $ \ell-1$ Schritten hat das lineare Gleichungssystem die Form

\begin{displaymath}\begin{array}{rrrrrrrrrrcccrrcl}
a_{1,1}&x_1&+&a_{1,2}&x_2&+&...
...&&&a_{n,\ell}&x_{\ell}&+&\hdots&+&a_{n,n}&x_n&=&b_n
\end{array}\end{displaymath}

Im einzelnen verläuft der $ \ell$-te Eliminationsschritt wie folgt.
Für das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 0&2&1&-1\\
3&2&0&1\\
3&1&-2&1\\
6&4&-1&1 \end{array}\right)x=
\left(\begin{array}{r}4\\ 1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

läuft der Gauß-Algorithmus folgendermaßen ab:
(Autoren: Höllig/Streit)

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  automatisch erstellt am 23.10.2009