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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Aufgaben und Test

Aufgaben

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#./aufgabe232.tex#Ein Fluss hat die Breite $ b=200\,$m  und eine überall gleiche Strömungsgeschwindigkeit von 2km/h. Vom linken Ufer startet ein Boot mit der Eigengeschwindigkeit 10km/h. Unter welchem Winkel muss es ablegen, um
a)
genau an der gegenüberliegenden Stelle anzukommen?
b)
1km flußabwärts anzukommen?
c)
das andere Ufer möglichst schnell zu erreichen? An welcher Stelle des rechten Ufers kommt es dann an?

(Autor: Klaus Höllig)
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Welche Bedingungen müssen $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ und $ r$ erfüllen, damit die Gleichungen

$\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{x}=r\, , \quad \vec{b}\times \vec{x}=\vec{c}$

Lösungen $ \vec{x}$ besitzen? Bestimmen Sie die Lösungsvektoren in Abhängigkeit von $ r$ für

$\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)\; , \... ...ht)\; , \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 0\\ -2\\ 1 \end{array}\right)\; . $

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Zeigen Sie, dass die beiden Geraden

$\displaystyle g_1:\, \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+... ...rray}\right) + \thickspace t \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right) $


windschief sind, und berechnen Sie ihren Abstand sowie die Punkte $ P\in g_1$, $ Q\in g_2$, zwischen denen der Abstand angenommen wird.

[Andere Variante]
(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie alle Geraden, die von den Punkten

$\displaystyle (0,0),\ (1,3),\ (6,10) $

den gleichen Abstand haben.
(Autor: Klaus Höllig)
Gegeben sind die Punkte

$\displaystyle A=(1, 0, 2), \quad B=(4, 3, 0), \quad C=(0, 6, 5) \quad {\mbox{und}} \quad D=(7, 0, 8). $


a)
Wie viele Ebenen gibt es, die von diesen Punkten den gleichen Abstand haben?
b)
Für welche dieser Ebenen ist der gemeinsame Abstand am kürzesten?

(Autor: Klaus Höllig)
Gegeben sind die Ebene $ E_1$ und die Gerade $ g_1$:

$\displaystyle E_1: \ 7x_1+4x_2+4x_3=4,\qquad g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 1... ...hickspace t\,\begin{pmatrix}4\\ 1\\ -8\end{pmatrix}\,, \quad t\in\mathbb{R}. $


a)
Bestimmen Sie die Ebene $ E_2$, die $ g_1$ enthält und zu $ E_1$ senkrecht ist.
b)
Geben Sie die zu $ E_2$ senkrechte Ursprungsgerade $ g_2$ an.
c)
Welche Ebenen haben zu $ E_2$ den Abstand 1? Schneiden Sie diese Ebenen mit $ E_1$ und $ g_2$.
d)
Welche Punkte haben sowohl von $ E_2$ als auch von $ E_1$ den Abstand 1? Welche Punkte haben von $ E_2$ und von $ g_2$ den Abstand 1?

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die Ellipse mit den Brennpunkten $ (\pm 2,0)$, die durch den Punkt $ (3,1)$ verläuft.
(Autor: Klaus Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009