Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik-Grundlagen-Komplexe Zahlen-Einheitswurzeln

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	Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Komplexe Zahlen
	Einheitswurzeln

Die Gleichung

$\displaystyle z^n = 1$

hat in $\mathbb{C}$ genau

Lösungen

$\displaystyle z_k = w_n^k,\quad w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n), \quad k=0,\ldots,n-1 \,,$

die als Einheitswurzeln bezeichnet werden.

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_Einheitswurzel.eps}$

Wie in der Abbildung veranschaulicht ist, bilden die Einheitswurzeln ein dem Einheitskreis einbeschriebenes regelmäßiges -Eck.

Für die Berechnung der kubischen Einheitswurzel erhält man aus der allgemeinen Formel

$\displaystyle z_k = \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i} k}{3}} \qquad k = 0,1,2 \,,$

d.h.

$\displaystyle z_0$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp{0} = 1$
$\displaystyle z_1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i}}{3}} = \cos{\frac{2 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{2 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle z_2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp{\frac{4 \pi \mathrm{i}}{3}} = \cos{\frac{4 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{4 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} - \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\, .$

Die Wurzel $z^{\frac{1}{3}}$ ist mehrdeutig, es existieren

verschiedene Werte.

Analog bestimmt man die quartischen Einheitswurzeln $1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}$ .

(Autoren: Höllig/Kopf)

automatisch erstellt am 23.10.2009