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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Aufgaben und Test

Test

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Aufgabe 1:
Ermitteln Sie den Wahrheitswert des logischen Ausdrucks

$\displaystyle D: \; (A\Rightarrow B)\land (\lnot C\lor A) $

in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen $ A,B,C$.


Antwort:

$ A$ w w w w f f f f
$ B$ w w f f w w f f
$ C$ w f w f w f w f
$ D$
Geben Sie jeweils entweder 'w' oder 'f' an.
Aufgabe 2:
Gegeben seien die Mengen $ A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $ B=\{4, 5, 6, 7\}$.

Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen zutreffen (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  $ A \cup B$ $ A \cap B$ $ A\setminus B$ $ {\cal{P}} (A)$
$ 5$ ist Element von
$ \{2, 3\}$ ist Teilmenge von     
$ \{1, 4\}$ ist Element von

Aufgabe 3:
Wie viele Relationen gibt es zwischen zwei jeweils dreielementigen Mengen $ A$ und $ B$ ? Wie viele davon sind Abbildungen und wie viele der Abbildungen sind surjektiv?

Lösung:

Relationen gesamt:
Abbildungen:
surjektive Abbildungen:

Aufgabe 4:
Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ surjektiv, injektiv oder bijektiv sind:

$\displaystyle {\bf a)} \quad f(x)=x\sin x \qquad {\bf b)} \quad f(x)=\exp\left(-x^{3}+1\right) \qquad {\bf c)} \quad f(x)=x\ln \frac{1}{\vert x\vert+1} $

Antwort:


a)     
$ f$ ist surjektiv.          keine Angabe         wahr         falsch
$ f$ ist injektiv.          keine Angabe         wahr         falsch
$ f$ ist bijektiv.          keine Angabe         wahr         falsch


b)     
$ f$ ist surjektiv.          keine Angabe         wahr         falsch
$ f$ ist injektiv.          keine Angabe         wahr         falsch
$ f$ ist bijektiv.          keine Angabe         wahr         falsch


c)     
$ f$ ist surjektiv.          keine Angabe         wahr         falsch
$ f$ ist injektiv.          keine Angabe         wahr         falsch
$ f$ ist bijektiv.          keine Angabe         wahr         falsch

Aufgabe 5:
Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es mit
a)
5 verschiedenen Ziffern,
b)
genau 2 ungeraden Ziffern?


Antwort:

a)              b)    

Aufgabe 6:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 9 Personen in 3 Dreiergruppen einzuteilen?

Antwort:     

Wie viele sind es, wenn zwei bestimmte Personen nicht in der gleichen Gruppe sein dürfen?

Antwort:     

Aufgabe 7:
Skizzieren Sie die Menge

$\displaystyle M=\left\{z\in\mathbb{C} \mid \vert z^2\vert \leq 2 \ \ \wedge \ \ \mathrm{Im} (z^2) \leq 0 \right\}$

in der Gaußschen Zahlenebene.

Welche Skizze entspricht der Menge M?

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a6_bild1.eps} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a6_bild2.eps}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a6_bild3.eps} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{a6_bild4.eps}

Bestimmen Sie Realteil und Imaginärteil von $ \displaystyle{z_1 = \left(e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\right)^3 }$ und von $ \displaystyle{z_2 = -1 + \frac{(1+\mathrm{i})^8}{\mathrm{i}}} .$
$ \qquad\mathrm{Re}\ z_1 \ = \ $ $ \qquad\mathrm{Im}\ z_1 \ = \ $
$ \qquad\mathrm{Re}\ z_2 \ = \ $ $ \qquad\mathrm{Im}\ z_2 \ = \ $

(Auf vier Dezimalstellen runden.)

Aufgabe 8:
Sind die angegebenen Aussagen für alle $ z, z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ gültig?

Aussage Ja Nein
$ {\displaystyle{\vert z \vert^2 = z^2}}$                  
$ {\displaystyle{ z_1\cdot\overline{z_2} = \overline{z_1}\cdot z_2}}$                  
$ {\displaystyle{\left\vert\, \overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\, \right\vert = \left\vert z_1\cdot z_2 \right\vert}}$                  
$ {\displaystyle{\vert {\rm {i}} z \vert = \vert z \vert}}$                  
$ {\displaystyle{\vert (1-{\rm {i}} ) z \vert = \vert z\vert + \vert {\rm {i}} z \vert}}$                  
$ {\displaystyle{ \vert z_1+z_2+z_3 \vert \leq \vert z_1\vert+\vert z_2\vert+\vert z_3\vert }}$                       
$ {\displaystyle{ \vert z_1-z_2 \vert \leq \vert z_1\vert-\vert z_2\vert}}$                  
$ {\displaystyle{ \vert z_1+z_2 \vert \geq \bigl\vert \vert z_1 \vert - \vert z_2 \vert \bigr\vert}}$                  
$ {\displaystyle{{\rm {Re}}\ z = \frac{z+\overline{z}}{2}}}$                  
$ {\displaystyle{{\rm {Im}}\ z = \frac{z-\overline{z}}{2}}}$                  
   
[Andere Variante]
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  automatisch erstellt am 23.10.2009