Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge
Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Folgen

Supremum und Infimum

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Eine Teilmenge $ M$ von $ \mathbb{R}$ ist nach oben beschränkt, wenn eine Schranke $ b$ existiert, so dass

$\displaystyle x\le b \quad \forall x\in M\,. $

Man nennt $ b \in \mathbb{R}$ ein Maximum von $ M$ ($ b$ = max$ \,M$), wenn $ b$ eine obere Schranke von $ M$ und $ b \in M$ ist.

Man bezeichnet $ b$ als Supremum von $ M$, ($ b$ = sup$ \,M$) wenn $ b$ die kleinste obere Schranke ist. Dabei muss $ b$ selbst nicht in $ M$ enthalten sein.

Analog definiert man eine untere Schranke, das Minimum (min$ \,M$) und das Infimum (inf$ \,M$) von $ M$.

Das sogenannte Vollständigkeitsaxiom reller Zahlen besagt, dass jede nach oben (unten) beschränkte nicht-leere Teilmenge von $ \mathbb{R}$ ein Supremum (Infimum) in $ \mathbb{R}$ hat.

Sei $ M = (0, 1) = \{x : x \in \mathbb{R}, \;0 < x < 1\}$. Dann hat $ M$ kein Maximum, denn falls $ x \in M$ ist, so existiert ein $ y > x$ in $ M,$ z. B. $ y = \dfrac{x+1}{2}$.
Das heißt auch, dass jede obere Schranke von M größer oder gleich 1 ist. Wegen $ x < 1$ für alle $ x \in M$ ist sup$ \,M$ = 1.
Weiterhin hat $ M$ kein Minimum, denn falls $ x \in M$ ist, so existiert ein $ y \in M$ mit $ y < x$ , z. B. $ y = \dfrac{x}{2}.$
Dies zeigt auch, dass jede untere Schranke von M kleiner oder gleich Null ist und damit inf$ \,M$ = 0 sein muss.
(Aus: Vorkurs Mathematik)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 23.10.2009