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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Mengen

Menge

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Eine Menge $ A$ besteht aus verschiedenen Elementen $ a_1,a_2,\ldots$:

$\displaystyle A = \{a_1,a_2,\ldots\}\, . $

Werden die Elemente durch eine Eigenschaft $ E$ charakterisiert, so schreibt man

$\displaystyle A = \{a:\ a\ $   besitzt die Eigenschaft$\displaystyle \ E\}\, . $

Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.

Man verwendet folgende Bezeichnungen:

Schreibweise Bedeutung
$ a\in A$ $ a$ ist Element von $ A$
$ a\notin A$ $ a$ ist nicht Element von $ A$
$ A\subseteq B$ $ A$ ist Teilmenge von $ B$
$ A\not \subseteq B$ $ A$ ist keine Teilmenge von $ B$
$ A\subset B$ $ A$ ist echte Teilmenge von $ B$
$ \vert A\vert$ Anzahl der Elemente in $ A$
$ \emptyset$ leere Menge

Gilt $ \vert A\vert<\infty$ bzw. $ =\infty$, so spricht man von einer endlichen bzw. unendlichen Menge. Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihren Elementen gibt ($ \vert A\vert=\vert B\vert$ für endliche Mengen).

Die Menge $ {\cal P}(A)$ aller Teilmengen von $ A$ wird als Potenzmenge bezeichnet, d.h. $ {\cal P}(A)=\{B:\ B\subseteq A\}$. Dabei gilt $ \emptyset\in {\cal P}(A)$, $ A\in {\cal P}(A)$ und $ \vert{\cal P}(A)\vert=2^{\vert A\vert}$.

Eine endliche Menge kann durch Auflisten aller Elemente angegeben werden, z.B.

$\displaystyle \left\{1,2,3,4 \right\} \,. $

Es ist auch möglich eine Menge als Teilmenge einer Obermenge anzugeben. Dabei werden von der Teilmenge spezielle Eigenschaften gefordert. Die Menge

$\displaystyle \left\{x \in {\mathbb{R}}\ \vert\ x^2=7 \right\} $

beschreibt zum Beispiel alle reellen Zahlen, deren Quadrat die Zahl 7 ergibt. Eine weitere Möglichkeit um eine unendliche Menge zu beschreiben ist die Angabe von einigen Elementen und Fortsetzungspunkten. Dabei muss das Gesetz nach dem die weiteren Elemente gebildet werden jedoch klar ersichtlich sein. Die Menge aller geraden natürlichen Zahlen

$\displaystyle \{n \in {\mathbb{N}} \ \vert \ n \textrm{ gerade }\} $

lässt auf diese Weise auch durch

$\displaystyle \left\{2,4,6,8,\ldots \right\}$

ausdrücken.
(Aus: Vorkurs Mathematik)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009