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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Extremwerte und Kurvendiskussion

Extremwerttest

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Der Typ eines Extremwerts lässt sich mit Hilfe höherer Ableitungen entscheiden.

\includegraphics[width=6cm]{extremwert.eps}

Ist $ f$ zweimal stetig differenzierbar und

$\displaystyle f^\prime(a) = 0\,, \qquad f^{\prime \prime} (a) > 0 \qquad (f^{\prime \prime} (a) < 0)\,, $

so hat $ f$ ein lokales Minimum (Maximum) bei $ a$ . Verschwindet die zweite Ableitung an der Stelle $ a$ , so müssen höhere Ableitungen zur Entscheidung herangezogen werden. Gilt

$\displaystyle f'(a) =f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0$   und$\displaystyle \quad f^{(n)}(a) \neq 0\,, $

so hat $ f$ in $ a$ genau dann eine Extremstelle, wenn $ n$ gerade ist. In diesem Fall hat $ f$ in $ a$ ein lokales Maximum bzw. Minimum, wenn $ f^{(n)}(a)<0$ bzw. $ f^{(n)}(a)>0$ ist.
Das Polynom

$\displaystyle p(x) = (x+1)^2 x^3 (x-1)^4 $

hat bei $ x=-1$ eine doppelte, bei $ x=0$ eine dreifache und bei $ x=1$ eine vierfache Nullstelle.
\includegraphics[width=8.4cm]{Extremwerttest.eps}

Es gilt

$\displaystyle p(-1) = p'(-1) = 0, \quad p''(-1) = 2(-1)^3(-2)^4 < 0\,. $

Bei $ x=-1$ hat $ p$ also ein Maximum. Bei $ x=1$ hat $ p$ ein Minimum, denn

$\displaystyle p(1) = \hdots = p'''(1) = 0, \quad p^{(4)}(1) = 2^2 1^3 4! > 0\,. $

Schließlich besitzt $ p$ wegen

$\displaystyle p(0) = p'(0) = p''(0) = 0, \quad p'''(0) = 3! (-1)^4 \ne 0 $

und einem Vorzeichenwechsel bei $ x=0$ keine Extremstelle im Ursprung.
(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 23.10.2009