Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche] Englische Flagge
Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Gruppen und Körper

Gruppe

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Unter einer Gruppe $ (G,\diamond)$ versteht man eine Menge $ G$, auf der eine binäre Operation $ \diamond$ definiert ist:

$\displaystyle \diamond: G \times G \longmapsto G\,, $

d.h. jedem Elementepaar $ (a,b)$:$ a,b \in G$ ist ein Element $ a \diamond b \in G$ zugeordnet. Ferner müssen folgende Eigenschaften gelten:

Man nennt eine Gruppe eine kommutative oder abelsche Gruppe, wenn die Operation $ \diamond$ kommutativ ist:

$\displaystyle a \diamond b = b \diamond a \qquad \forall a,b \in G\,. $

Wenn aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, welche Operation verwendet wird, schreibt man häufig statt $ (G,\diamond)$ nur $ G$.
(Autoren: Höllig/Hörner)
Die bijektiven reellen Funktionen $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bilden bzgl. der Hintereinanderschaltung $ \circ$ eine Gruppe.

Man überprüft leicht, dass die Hintereinanderschaltung assoziativ ist:

$\displaystyle ((f\circ g)\circ h)(x) = f(g(h(x)))= (f\circ (g\circ h)) (x)\,. $

Das neutrale Element ist offensichtlich die Funktion

$\displaystyle e: \quad x \to x \,. $

Schließlich existiert zu jeder bijektiven Funktion die Umkehrfunktion

$\displaystyle f^{-1}: \quad f(x) \to x \,. $

Die Hintereinanderschaltung ist jedoch nicht kommutativ. Beispielsweise ist für

$\displaystyle f: \; x\to 2x\,, \quad g: \; x\to x+1 $

$ f\circ g \neq g\circ f$:

$\displaystyle f(g(x)) = 2(x+1) \neq 2x+1=g(f(x))\,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 23.5.2011