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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Gruppen und Körper

Untergruppe

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Für eine Gruppe $ (G, \diamond)$ bezeichnet man $ (U, \diamond)$ als Untergruppe, wenn $ U$ Teilmenge von $ G$ ist und $ (U, \diamond)$ selbst eine Gruppe bildet.

Um zu testen, ob $ U$ mit der Verknüpfung $ \diamond$ eine Untergruppe bildet, genügt es zu überprüfen, dass $ U$ bezüglich der Verknüpfung $ \diamond$ und der Bildung von Inversen abgeschlossen ist:

$\displaystyle a,b\in U \; \Rightarrow \; a\diamond b\in U$   und$\displaystyle \qquad a\in U\; \Rightarrow \; a^{-1} \in U \; .$

Die Zahlenmengen

$\displaystyle \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} $

sind kommutative Gruppen bzgl. der Addition. Gemäß der Inklusionen sind die ganzen Zahlen eine Untergruppe von $ \mathbb{Q},\mathbb{R}$ und $ \mathbb{C}$, die rationalen Zahlen eine Untergruppe von $ \mathbb{R}$ und $ \mathbb{C}$ und die reellen Zahlen eine Untergruppe der komplexen Zahlen.

Die Multiplikation definiert ebenfalls eine Gruppenstruktur, wenn man die Null ausschließt:

$\displaystyle \mathbb{Q}\backslash\{0\} \subset \mathbb{R}\backslash\{0\} \subset \mathbb{C}\backslash\{0\}\,. $

(Autor: W. Kimmerle, K. Höllig, Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011