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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Singulärwertzerlegung

Moore-Penrose-Bedingungen

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Die Pseudo-Inverse $ A^+$ wird durch die folgenden Identitäten eindeutig charakterisiert:
(Autoren: App/Höllig)
Es lässt sich leicht nachprüfen, dass die durch

$\displaystyle A^+ = V S^+ U^*,\quad A = U S V^* $

definierte Pseudo-Inverse die angegebenen Bedingungen erfüllt. Beispielsweise folgt die erste Identität aus

$\displaystyle (U S V^*)(V S^+ U^*)(U S V^*) = U [SS^+S] V^* \,, $

denn das Produkt der verallgemeinerten Diagonalmatrizen in eckigen Klammern wird durch Multiplizieren der Diagonalelemente gebildet und es ist

$\displaystyle s^+_{i,i} = 1/s_{i,i},\quad i\le \operatorname{Rang}A\,. $

Alle anderen Identitäten folgen ebenfalls durch direktes Nachrechnen.

Zu zeigen, dass $ A^+$ durch die angegebenen Bedingungen eindeutig charakterisiert wird, ist allerdings weitaus schwieriger und soll hier nicht ausgeführt werden.

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011