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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Orthogonale Gruppen

Spiegelung

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Eine Spiegelung an der zu einem Einheitsvektor $ d\ne 0$ orthogonalen Hyperebene

$\displaystyle H:\ d^{\operatorname t}x = 0 $

im $ \mathbb{R}^n$ wird durch die symmetrische orthogonale Matrix

$\displaystyle Q = E - 2 d d^{\operatorname t} $

mit $ E$ der Einheitsmatrix beschrieben.

\includegraphics[width=0.8\linewidth]{a_spiegelung}
(Autoren: App/Höllig)
Die Symmetrie von $ Q$ ist offensichtlich. Damit folgt

$\displaystyle Q Q^{\operatorname t}= Q^2 = (E-2dd^{\operatorname t})^2=E^2 - 4dd^{\operatorname t}+4dd^{\operatorname t}dd^{\operatorname t}=E\,, $

d.h. $ Q$ ist orthogonal.

Zum Beweis der Spiegelungseigenschaft bemerkt man zunächst, dass der Vektor

$\displaystyle x-Qx = x-x+2dd^{\operatorname t}x = 2 (d^{\operatorname t}x) d $

parallel zu $ d$ ist, und der Mittelpunkt zwischen $ x$ und $ Qx$ in der Hyperebene liegt:

$\displaystyle d^{\operatorname t}(x+Qx)= d^{\operatorname t}x + d^{\operatorname t}x - 2 d^{\operatorname t}dd^{\operatorname t}x =0\,. $

Damit ist $ Qx$ die Spiegelung von $ x$ an der Hyperebene durch den Ursprung, die zu $ d$ orthogonal ist.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011