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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Vektorräume

Vektorraum

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Eine abelsche Gruppe $ (V,+)$ heißt Vektorraum über einem Körper $ K$ oder $ K$-Vektorraum, wenn eine Skalarmultiplikation ,,$ \cdot$`` definiert ist, die $ (\lambda,v) \in K \times V$ das Produkt $ \lambda \cdot v \in V$ zuordnet und folgende Eigenschaften besitzt. Für alle Skalare $ \lambda, \lambda_1, \lambda_2 \in K$ und alle Vektoren $ v$, $ v_1$, $ v_2 \in V$ gilt:


$\displaystyle (\lambda_1+\lambda_2)\cdot v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda_1\cdot v + \lambda_2\cdot v$  
$\displaystyle \lambda\cdot(v_1+v_2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda\cdot v_1 + \lambda\cdot v_2$  
$\displaystyle (\lambda_1\cdot\lambda_2)\cdot v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda_1\cdot(\lambda_2\cdot v)$  
$\displaystyle 1\cdot v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\,.$  

Ist $ K=\mathbb{R}$ bzw. $ K=\mathbb{C}$, so spricht man von einem reellen bzw. komplexen Vektorraum und lässt den Punkt für die skalare Multiplikation im Allgemeinen weg.

Man beachte, dass das Pluszeichen sowohl für die Addition in $ V$ als auch für die Addition in $ K$ benutzt wird. Ebenso wird der Malpunkt auch für die Multiplikation in $ K$ verwendet.

(Autoren: App/Kimmerle)

Gemäß der Definition gelten in einem Vektorraum insbesondere die Gruppenaxiome:

Die geforderten Eigenschaften garantieren, dass Addition, Subtraktion und Multiplikation den gewohnten Rechengesetzen genügen. So kann man Produkte ausmultiplizieren:

$\displaystyle \left( \sum_i \lambda_i \right) \cdot \left( \sum_j v_j \right) = \sum_i \sum_j \lambda_i \cdot v_j\, . $

Darüberhinaus gelten die Vorzeichenregeln

$\displaystyle -(-v) = (-1)\cdot (-v) = v, \quad - \left( \sum_i v_i \right) = \sum_i -v_i\, . $

(Autoren: App/Höllig)
Die Polynome vom Grad $ \le n$

$\displaystyle p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n,\quad a_i\in\mathbb{R} \quad (a_i \in \mathbb{C}) , $

bilden einen reellen (komplexen) Vektorraum, wobei die Addition und die skalare Multiplikation in der nahe liegenden Weise definiert sind:

$\displaystyle (p+q)(x) = p(x) + q(x),\quad (\lambda p)(x) = \lambda p(x)\,. $

Die Vektorraumeigenschaften verifiziert man leicht.

Man beachte, dass die Polynome mit Grad $ n$, d.h. mit $ a_n\ne0$, keinen Vektorraum bilden. Bilden einer Summe kann nämlich zur Gradreduktion führen. Beispielsweise ist

$\displaystyle (2x - x^2) + (3 + x^2) = 3 + 2x\,. $

(Autoren: App/Höllig)
Die reellen Folgen $ (a_n)$ mit $ n\in\mathbb{N}$ bilden einen reellen Vektorraum mit den Operationen

$\displaystyle (a_n) + (b_n) = (a_n + b_n),\quad \lambda (a_n) = (\lambda a_n)\,. $

Fordert man zusätzliche Eigenschaften, so kann das die Vektorraumstruktur zerstören. Beispielsweise bilden monotone Folgen keinen Vektorraum. Summen monotoner Folgen brauchen nicht monoton zu sein, wie das Beispiel

$\displaystyle (4 n) + (-n^2) $

zeigt. Hingegen wäre Beschränktheit eine zulässige Eigenschaft.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011