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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Gruppen und Körper

Primkörper

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Für jede Primzahl $ p$ ist die Menge

$\displaystyle \mathbb{Z}_p = \{0,1,\ldots,p-1\} $

ein Körper unter der Addition und Multiplikation modulo $ p$.
(Autoren: Höllig/Hörner)
Bis auf die Existenz eines inversen Elementes bezüglich der Multiplikation gelten die Rechenregeln für Körper bereits in den ganzen Zahlen und werden auf die Restklassen vererbt.

Für $ a \in \{2,\ldots,p-1\}$ kann man $ a^{-1}$ wie folgt konstruieren. Man bemerkt zunächst, dass

$\displaystyle a^i \neq 0 \operatorname{mod} p \quad \forall i \in \mathbb{N}\, . $

Wäre nämlich $ a^i=np$, so würde aus der Primfaktorzerlegung folgen, dass $ p$ $ a$ teilt, was wegen $ a < p$ nicht möglich ist. Betrachtet man nun die Folge

$\displaystyle a^i \operatorname{mod} p,\quad i=0,\ldots,p-1\, , $

so muss mindestens ein Rest zweimal auftreten, also

$\displaystyle a^{i_1}=a^{i_2} \operatorname{mod} p\,,\quad i_1<i_2 $

gelten. Damit ist aber

$\displaystyle a^{i_2-i_1}= a^{i_2-i_1-1}a = 1\operatorname{mod} p\, , $

womit das zu $ a$ inverse Element gefunden ist.
Im Primkörper $ \mathbb{Z}_5$ sind die inversen Elemente
$\displaystyle 2^{-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3 \operatorname{mod} 5$  
$\displaystyle 3^{-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 \operatorname{mod} 5$  
$\displaystyle 4^{-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4 \operatorname{mod} 5\,.$  

Damit ist beispielsweise $ \frac{(2 + 4)}{3} \operatorname{mod} 5 & = & \frac{1}{3} \operatorname{mod} 5 & = & 2$ in Einklang mit
$\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \operatorname{mod} 5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 \operatorname{mod} 5$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4 + 3 \operatorname{mod} 5$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\,.$  

(Autoren: Höllig/Kreitz)
Der Galois-Körper GF[$ 2^2$] mit $ 4$ Elementen lässt sich durch die Verknüpfungstabellen der Addition und Multiplikation angeben:

$ +$ 0 $ 1$ $ a$ $ b$
0 0 $ 1$ $ a$ $ b$
$ 1$ $ 1$ 0 $ b$ $ a$
$ a$ $ a$ $ b$ 0 $ 1$
$ b$ $ b$ $ a$ $ 1$ 0
$ \cdot$ 0 $ 1$ $ a$ $ b$
0 0 0 0 0
$ 1$ 0 $ 1$ $ a$ $ b$
$ a$ 0 $ a$ $ b$ $ 1$
$ b$ 0 $ b$ $ 1$ $ a$

Das zugrunde liegende Konstruktionsprinzip ist nicht so einfach wie bei den Primkörpern $ \mathbb{Z}_p$ und wurde von Galois gefunden. Es lässt sich allgemein zur Konstruktion von Körpern mit $ p^\ell$ Elementen, $ \ell\in\mathbb{N}$, für beliebige Primzahlen $ p$ durchführen, und es kann gezeigt werden, dass man so alle endlichen Körper erhält.

In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9 Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll ,,jeder gegen jeden`` spielen. Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden, die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen. Die Schwierigkeit besteht darin, Überschneidungen zu vermeiden - jede Paarung soll genau einmal bei den $ 3\cdot 4$ Gruppen vorkommen.

Mathematisch lässt sich das Problem folgendermaßen formulieren: Es sind $ 3$-elementige Mengen

$\displaystyle S_{0,k}\cup S_{1,k} \cup S_{2,k} = \{1,\ldots,9\},\quad k=0,\ldots,3\, $

zu bestimmen, so dass der Durchschnitt zweier Mengen höchstens ein Element enthält. Diese Bedingung vermeidet, dass Mengen, die Gruppen an verschiedenen Spieltagen entsprechen, ein gemeinsames Mannschaftspaar enthalten.

Die Mengen $ S_{j,k}$ lassen sich mit Hilfe des Primkörpers $ \mathbb{Z}_3$ konstruieren. Man identifiziert dazu die Mannschaftsnummern $ 1,\ldots,9$ mit den Punkten

$\displaystyle (\alpha,\beta),\quad \alpha,\,\beta\in\mathbb{Z}_3 $

einer $ 9$-elementigen ,,endlichen Ebene`` und identifiziert die Mengen mit den Geraden in dieser Ebene:
$\displaystyle S_{j,k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{(\alpha,k\cdot\alpha+j\,$mod$\displaystyle \,3):\ \alpha = 0,1,2\},\quad ($Geraden mit Steigung$\displaystyle \ k=0,1,2)$  
$\displaystyle S_{j,3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{(j,\alpha):\ \alpha = 0,1,2\}\quad ($senkrechte Geraden$\displaystyle )\, .$  

Diese Gruppenaufteilung ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht:

\includegraphics[width=.9\linewidth]{ebenen}

Das gleiche Problem für 16 Mannschaften, 4 Städte und 5 Termine kann analog gelöst werden. Man verwendet den $ 4$-elementigen Galois-Körper GF[$ 2^2$] und erhält folgende Gruppeneinteilung:

  Spielort 1 Spielort 2 Spielort 3 Spielort 4
1. Spieltag 1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 13,14,15,16
2. Spieltag 1,6,11,16 5,2,15,12 9,14,3,8 13,10,7,4
3. Spieltag 1,10,15,8 5,14,11,4 9,2,7,16 13,6,3,12
4. Spieltag 1,14,7,12 5,10,3,16 9,6,15,4 13,2,11,8
5. Spieltag 1,5,9,13 2,6,10,14 3,7,11,15 4,8,12,16

Allgemein ist die Argumentation für $ q^2$ Mannschaften und $ q$ Städte möglich, wobei $ q$ eine Potenz einer Primzahl ist, denn für solche $ q$ existieren die Körper GF[$ q$].

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  automatisch erstellt am 23.5.2011