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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Orthogonale Gruppen

Drehmatrix

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Eine Drehung im $ \mathbb{R}^3$ mit normierter Drehachsenrichtung $ u$ und Drehwinkel $ \varphi$, orientiert wie eine Rechtsschraube, bildet einen Vektor $ x$ auf

$\displaystyle Qx = \cos\varphi \, x + (1-\cos\varphi) u u^{\operatorname t}x + \sin\varphi \, u \times x $

ab, wobei $ v \times x$ das Kreuzprodukt von $ u$ und $ x$ bezeichnet. Die entsprechende Drehmatrix ist
$\displaystyle Q: \quad q_{ik}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\varphi \;\delta_{ik} + (1-\cos\varphi)\;u_iu_k + \sin\varphi \sum\limits_j \varepsilon_{ijk}u_j \,.$  

mit dem Kroneckersymbol $ \delta_{ik}$ und dem $ \varepsilon$-Tensor $ \varepsilon_{ijk}$.
(Autoren: Höllig/Reble)
Es genügt nachzuprüfen, dass $ Qu=u$ und ein zu $ u$ orthogonaler Vektor $ v$ um einen Winkel $ \varphi$ um die Achse $ u$ gedreht wird. Die erste Behauptung ist unmittelbar einsichtig. Als Bild von $ v$ erhält man

$\displaystyle Qv = \cos\varphi \, v + \sin\varphi \, u \times v \,, $

was einer Drehung um $ \varphi$ in der von $ v$ und $ u\times v$ aufgespannten Ebene entspricht.
(Autoren: Höllig/Reble)
Gemäß der allgemeinen Formel setzt sich die Matrix $ Q$ einer Drehung um $ \varphi = \frac{\pi}{3}$ um die Achse $ u = \frac{1}{\sqrt{3}} (1 \ 1 \ 1)^{{\operatorname t}}$ aus 3 Termen zusammen:
$\displaystyle \cos \varphi \ \delta_{ik}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right)$  
$\displaystyle (1 - \cos \varphi ) u_i u_k$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$  
$\displaystyle \sin \varphi \sum \limits_j \varepsilon_{ijk} u_j$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right)$  

Insgesamt erhält man

$\displaystyle Q = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{array} \right)\,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011