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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Orthogonale Gruppen

Faktorisierung einer Drehung

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Eine Drehung $ Q$ im $ \mathbb{R}^3$ lässt sich als Produkt von Drehungen um die Koordinatenachsen darstellen:

$\displaystyle Q = D_z D_y D_x \,. $

(Autoren: Höllig/Reble)
Die Drehungen $ D$ lassen sich bestimmen, indem man sukzessive die Elemente $ q_{21}, q_{31}, q_{32}$ von $ Q$ annulliert:
$\displaystyle D_z^{-1}Q$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} \star & \star & \star\\ 0 & \star & \star\\ \star & \star & \star\\ \end{array}\right)$  
$\displaystyle D_y^{-1}D_z^{-1} Q$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1 & \star & \star\\ 0 & \star & \star\\ 0 & \star & \star\\ \end{array}\right)$  
$\displaystyle D_x^{-1}D_y^{-1}D_z^{-1} Q$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1 & \star & \star\\ 0 & 1 & \star\\ 0 & 0 & \star\\ \end{array}\right) = R \,.$  

Dabei wurde ausgenutzt, dass sich ein beliebiger Einheitsvektor $ (v_1, v_2)^{\operatorname t}$ durch eine ebene Drehung $ D$ auf $ (1,0)^{\operatorname t}$ abbilden lässt. Da $ \operatorname{det} R = 1$ ist folgt $ r_{33} =1$ und wegen der Normierung der Spalten muss $ R$ die Einheitsmatrix sein. Damit ergibt sich die gewünschte Darstellung.
(Autoren: Höllig/Reble)
Um die Faktorisierung der Drehmatrix

$\displaystyle Q = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{... ...rac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{8} \end{array} \right) $

zu bestimmen, annuliert man zuerst das Element $ q_{2,1}$ durch eine Drehung um $ \frac{\pi}{2}$ um die $ z$-Achse:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \e... ...{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{8} \end{array} \right)\,. $

Anschließend dreht man um $ \frac{\pi}{4}$ um die $ y$-Achse:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqr... ...c{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right)\,. $

Die resultierende Matrix ist eine Drehung $ D_x$ um die $ x$-Achse. Insgesamt erhält man für die Faktorisierung
$ Q =$ $ \left( \begin{array}{ccc} 0 &1 &0 \\ -1& 0& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array} \right)$ $ \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} &0& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0& 1& 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ $ \left( \begin{array}{ccc} 1& 0& 0 \\ 0 &\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 &\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \end{array} \right)$
  $ D_z$ $ D_y$ $ D_x$
(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011