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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Singulärwertzerlegung

Singulärwert-Zerlegung

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Zu jeder komplexen $ (m\times n)$-Matrix $ A$ existieren unitäre Matrizen $ U$ und $ V$ mit

$\displaystyle U^* A V = S = \left(\begin{array}{ccc} s_1 & & 0 \\ & s_2 & \\ 0 & & \ddots \end{array}\right). $

Die singulären Werte

$\displaystyle s_1\ge s_2\ge\cdots\ge s_k>s_{k+1}=\cdots=0 $

sind die Wurzeln der Eigenwerte von $ A^* A$ und $ k$ ist der Rang von $ A$. Die Spalten $ u_j$ von $ U$ und $ v_j$ von $ V$ bilden orthonormale Basen aus Eigenvektoren von $ AA^*$ bzw. $ A^* A$ und es gilt

$\displaystyle Av_j = s_j u_j, $

für $ 1\leq j\leq k$.

Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung lässt sich die lineare Abbildung $ x\mapsto y=Ax$ in der Form

$\displaystyle y = \sum_{i=1}^k s_i (v_i^* x) u_i $

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass

$\displaystyle \operatorname{Kern}A = \operatorname{span} \{v_{k+1},\ldots,v_n\},\quad \operatorname{Bild}A = \operatorname{span} \{u_1,\ldots,u_k\} \,. $

Schließlich ist $ \Vert A\Vert _2 = s_1$ und $ \Vert A\Vert^2_F = \sum_{j,k}\vert a_{j,k}\vert^2 = s_1^2+\cdots+s_k^2$.
(Autoren: App/Höllig)
Durch Diagonalisierung der hermiteschen Matrix $ A^* A$ erhält man

$\displaystyle V^* A^* A V = \operatorname{diag}(s_1^2,\ldots,s_k^2,0,\ldots,0) = S^{\operatorname t}S\, , $

wobei man annehmen kann, dass die Eigenwerte der Größe nach geordnet sind. Da $ A^* A$ positiv semidefinit ist, kann man die ausschließlich nichtnegativen Eigenwerte als Quadrate ansetzen und so die $ m\times n$ Diagonalmatrix $ S$ definieren.

Aus obiger Gleichung folgt, dass die Spalten von $ AV$ orthogonal sind und Norm $ s_i$ haben:

$\displaystyle AV = \left(\begin{array}{ccc ccc} s_1 u_1 & \cdots & s_k u_k & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right) = US $

mit einer unitären Matrix $ U$.

Nachdem die behauptete Darstellung

$\displaystyle A= USV^* $

konstruiert wurde, lassen sich die restlichen Aussagen leicht nachprüfen.

Da unitäre Transformationen den Rang einer Matrix nicht verändern, gilt

$\displaystyle \operatorname{Rang}\,A = \operatorname{Rang}\,S = k\,. $

Weiter ist

$\displaystyle AA^* u_j = U(SS^{\operatorname t})U^* u_j = u_j (s_j)^2 $

und

$\displaystyle A^*Av_j = V(S^{\operatorname t}S) V^* v_j = v_j (s_j)^2\,. $

Schließlich ist $ Av_j$ gleich der $ j$-ten Spalte von $ US$, also gleich $ u_js_j$.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 21.4.2005