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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Matrix-Operationen

Norm einer Matrix

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Einer Vektornorm ist die Matrixnorm

$\displaystyle \Vert A\Vert = \sup_{x\ne 0}\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert} = \max_{\Vert x\Vert=1} \Vert Ax\Vert $

zugeordnet. Zusätzlich zu den Normeigenschaften (Positivität, Homogenität, Dreiecksungleichung) gilt

$\displaystyle \Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert\Vert B\Vert\, , $

d.h. die zugeordnete Matrixnorm ist submultiplikativ.
(Autoren: Höllig/Hörner)
Im Folgenden werden die einzelnen Eigenschaften verifiziert:

Positivität: Durch die Definition über die Vektornorm ist gewährleistet, dass $ \Vert A\Vert \geq 0$. Ist $ A$ die Nullmatrix, so kommt nur der Nullvektor als Bild vor und die Norm ist 0. Ist andererseits die Norm Null, so tritt nur der Nullvektor als Bild auf, und die Abbildung wird durch die Nullmatrix beschrieben.

Homogenität:

$\displaystyle \Vert\lambda A\Vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \max\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert\lambda Ax\Vert = \max\limits_{\Vert x\Vert=1}\vert\lambda\vert\Vert Ax\Vert$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert\lambda\vert\max\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert = \vert\lambda\vert\Vert A\Vert\,.$  

Dreiecksungleichung:

$\displaystyle \Vert A+B\Vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \max\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert(A+B)x\Vert = \max\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax+Bx\Vert$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \max\limits_{\Vert x\Vert=1}\left(\Vert Ax\Vert + \Vert Bx\Vert\right)$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \max\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert+\max\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Bx\Vert = \Vert A\Vert+\Vert B\Vert\,.$  

Submultiplikativität: Für $ B=0$ ist $ AB=0$ und damit die Ungleichung erfüllt. Für $ B \neq 0$ ist

$\displaystyle \Vert AB\Vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sup\limits_{x\neq 0} \frac{\Vert ABx\Vert}{\Vert x\Vert} = \sup\... ...0} \frac{\Vert A(Bx)\Vert}{\Vert Bx\Vert} \; \frac{\Vert Bx\Vert}{\Vert x\Vert}$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sup\limits_{y\neq 0} \frac{\Vert Ay\Vert}{\Vert y\Vert} \; \sup\limits_{x\neq 0} \frac{\Vert Bx\Vert}{\Vert x\Vert} = \Vert A\Vert\Vert B\Vert\,.$  

Bei der ersten Umformung wird zwar die Menge über die das Supremum gebildet wird eingeschränkt, es werden aber nur Vektoren entfernt, die den Nullvektor als Bild haben und damit das Supremum nicht beinflussen.
(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011