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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Matrix-Operationen

Zeilensummen-Norm

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Der Maximum-Norm für Vektoren $ \Vert v\Vert _{\infty} = \max\limits_i \vert v_i\vert$ ist die Zeilensummennorm für Matrizen

$\displaystyle \Vert A\Vert _{\infty} = \max\limits_{i} \sum\limits_j \vert a_{ij}\vert $

zugeordnet.
(Autoren: Höllig/Hörner)
Für $ \Vert x\Vert _{\infty}=\max\limits_j\vert x_j\vert =1$ ist

$\displaystyle \Vert Ax\Vert _{\infty}=\max\limits_i \left\vert\sum\limits_j a_{ij}x_j\right\vert \leq \max\limits_i \sum\limits_j \vert a_{ij}\vert \,, $

und man erhält

$\displaystyle \Vert A\Vert _{\infty} = \max\limits_{\Vert x\Vert=1} \Vert Ax\Vert _{\infty} \leq \max\limits_{i} \sum\limits_j \vert a_{ij}\vert \; . $

Nimmt man an, dass das Maximum für $ i=k$ angenommen wird, so folgt die Gleichheit durch die Wahl von

$\displaystyle x_j = \operatorname{sign} a_{kj} $

denn damit ist

$\displaystyle \left\vert\sum\limits_j a_{kj}x_j\right\vert = \sum\limits_j \left\vert a_{kj}\right\vert\,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011