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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Determinanten

Sarrus-Schema

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Die Determinante einer $ (3\times 3)$-Matrix ist wie in der Abbildung illustriert eine Summe von Produkten, die den verschiedenen Diagonalen entsprechen.

\includegraphics[origin=cc,width=.8\linewidth]{b_sarrus_bild_vert}

Ein Analogon dieses nach Sarrus benannten Schemas in höheren Dimensionen $ n$ existiert nicht. Bereits für $ n=4$ ist die Determinante eine Summe von $ 24$ Produkten.

Das Sarrus-Schema lässt sich leicht durch Entwicklung nach Permutationen nachprüfen. Die folgende Tabelle zeigt alle Summanden, sowie die mit den Permutationen $ i$ assoziierten Vertauschungen, aus denen sich das Vorzeichen $ \sigma$ ergibt.

$ i$ Vertauschungen $ \sigma(i)$ Summand
$ (1,2,3)$   $ +$ $ +a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$
$ (2,3,1)$ $ \to(3,2,1)\to(1,2,3)$ $ +$ $ +a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3}$
$ (3,1,2)$ $ \to(2,1,3)\to(1,2,3)$ $ +$ $ +a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3}$
$ (3,2,1)$ $ \to(1,2,3)$ $ -$ $ -a_{3,1}a_{2,2}a_{1,3}$
$ (1,3,2)$ $ \to(1,2,3)$ $ -$ $ -a_{1,1}a_{3,2}a_{2,3}$
$ (2,1,3)$ $ \to(1,2,3)$ $ -$ $ -a_{2,1}a_{1,2}a_{3,3}$

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011