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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Determinanten

Orientiertes Volumen

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Der Betrag der Determinante einer reellen Matrix $ A$ stimmt mit dem $ n$-dimensionalen Volumen des von den Spalten $ a_i$ aufgespannten Spats überein:

$\displaystyle \vert\operatorname{det}A\vert = \operatorname{vol}\left\{\sum_{i... ...a_i:\ 0\le\alpha_i\le 1\right\} = \operatorname{vol}\left(A[0,1]^n\right) \,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)
Man kann leicht nachprüfen, dass das orientierte Volumen

$\displaystyle \operatorname{vol}_*A := \operatorname{sign}(\operatorname{det} A) \operatorname{vol}(A[0,1]^n) $

alle drei definierenden Eigenschaften der Determinante (Multilinearität, Antisymmetrie, Normierung) besitzt. Folglich muß

$\displaystyle \operatorname{vol}_*A = \operatorname{det} A $

gelten.
(Autoren: Höllig/Hörner)

Für Vektoren $ u$, $ v$, $ w$ im $ \mathbb{R}^3$ stimmt die Determinante mit dem Spatprodukt überein:

$\displaystyle \operatorname{det}(u,v,w) = [u,v,w]\,. $

Alternativ läßt sie sich mit Hilfe des $ \varepsilon$-Tensors ausdrücken:

$\displaystyle \operatorname{det}(u,v,w) = \sum_i \sum_j \sum_k \varepsilon_{i,j,k} u_iv_jw_k\, . $

Wählt man beispielsweise die Vektoren

$\displaystyle u=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\,,\quad v=\l... ...nd{array}\right)\,,\quad w=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right) $

ergibt das Spatprodukt

$\displaystyle (2,1,1) \left( \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right... ... = (2,1,1) \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right) =6-1-1=4\,. $

Mit dem $ \varepsilon$-Tensor erhält man die Darstellung
$\displaystyle \operatorname{det}(u,v,w)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \varepsilon_{1,2,3}\cdot2\cdot2\cdot2 +\varepsilon_{1,3,2}\cdot2\cdot1\cdot1 +\varepsilon_{2,1,3}\cdot1\cdot1\cdot2$  
    $\displaystyle +\varepsilon_{2,3,1}\cdot1\cdot1\cdot1 +\varepsilon_{3,1,2}\cdot1\cdot1\cdot1 +\varepsilon_{3,2,1}\cdot1\cdot2\cdot1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 8-2-2+1+1-2=4\,.$  

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011