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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Gruppen und Körper

Restklassen modulo n

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Die Menge

$\displaystyle \{0,1,\ldots,n-1\} $

bildet eine abelsche Gruppe unter der Addition modulo $ n$ und wird mit

$\displaystyle \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}\,\operatorname{mod}\,n $

bezeichnet.

Man beachte, dass die Multiplikation modulo $ n$ keine Gruppenstruktur auf $ \mathbb{Z}_n$ definiert, da 0 kein Inverses besitzt.

Man überprüft anhand des konkreten Beispiels

$\displaystyle \mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\} $

leicht, dass die Addition bzw. Subtraktion mit der Modulo-Operation verträglich ist. Beispielsweise ist

$\displaystyle 1+3\,$mod$\displaystyle \,4 = 0,\quad 0-2\,$mod$\displaystyle \,4 = 2 $

etc.

Allerdings führt die Multiplikation modulo $ 4$ nicht auf eine Gruppenstruktur, denn

$\displaystyle 1 \cdot 2\,$mod$\displaystyle \,4 = 3 \cdot 2\,$mod$\displaystyle \,4 = 2\,. $

Dies steht im Widerspruch zur Eindeutigkeit des neutralen Elements.
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  automatisch erstellt am 23.5.2011