Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Grundlegende Strukturen-Gruppen und Körper-Körper

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	Körper

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Eine Menge

, auf der eine Addition ,,+`` und eine Multiplikation ,, $\cdot$ `` definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten:

Additive Gruppenstruktur: ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. für alle $a,b \in K$ gilt

$\displaystyle a + b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b + a$

$\displaystyle (a + b)+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(b + c)$

$\displaystyle a + 0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$

$\displaystyle a + (-a)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 \,,$

wobei das inverse Element zu bezeichnet.
Multiplikative Gruppenstruktur: $(K\backslash\{0\},\cdot)$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element (Einselement), d.h. für alle $a,b,c \in K\backslash\{0\}$ gilt

$\displaystyle a \cdot b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b \cdot a$

$\displaystyle (a \cdot b) \cdot c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a \cdot (b \cdot c)$

$\displaystyle a \cdot 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$

$\displaystyle a \cdot a^{-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\,,$

wobei $a^{-1}$ das inverse Element zu bezeichnet.
Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ für alle $a,b,c \in K$ .

(Autoren: Höllig/Hörner)

Die Mengen der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ , der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind Körper.

Die Rechenregeln folgen direkt aus der Definition der entsprechenden Verknüpfungen. Das Nullelement ist jeweils die 0, das Einselement ist 1 bzw. $1+\mathrm{i}0$ .

Das inverse Element bezüglich der Multiplikation einer komplexen Zahl $z=x+\mathrm{i}y \neq 0$ ist

$\displaystyle w=\frac{x}{x^2+y^2} +\mathrm{i}\,\frac{-y}{x^2+y^2}\,,$

denn

$\displaystyle z \cdot w =(x+\mathrm{i}y) \left(\frac{x}{x^2+y^2} +\mathrm{i}\,\... ...-\mathrm{i}^2y^2}{x^2+y^2}+\mathrm{i}\frac{-xy+yx}{x^2+y^2} = 1+\mathrm{i}0\,.$

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automatisch erstellt am 23.5.2011

$\displaystyle a + b$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b + a$
$\displaystyle (a + b)+c$	$\displaystyle =$	$\displaystyle a+(b + c)$
$\displaystyle a + 0$	$\displaystyle =$	$\displaystyle a$
$\displaystyle a + (-a)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \,,$

$\displaystyle a \cdot b$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b \cdot a$
$\displaystyle (a \cdot b) \cdot c$	$\displaystyle =$	$\displaystyle a \cdot (b \cdot c)$
$\displaystyle a \cdot 1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle a$
$\displaystyle a \cdot a^{-1}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 1\,,$