Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Normalformen-Eigenwerte und Eigenvektoren-Summe und Produkt von Eigenwerten

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Eigenwerte und Eigenvektoren
	Summe und Produkt von Eigenwerten

Für die Eigenwerte $\lambda_i$ einer $(n\times n)$ -Matrix

gilt

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{Spur} A,\quad \prod_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{det} A \,,$

wobei mehrfache Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit gezählt werden.

(Autoren: Höllig/Hörner )

Aufgrund der Multilinearität der Determinante ergibt sich für das charakteristische Polynom

$\displaystyle p_A(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E)=(-\lambda)^n+\operatorname{Spur} A (-\lambda)^{n-1}+\cdots+\operatorname{det} A \,.$

Andererseits lässt sich das Polynom in der Form

$\displaystyle p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^n (\lambda_i-\lambda)$

darstellen. Durch Ausmultiplizieren der zweiten Formel und Koeffizientenvergleich erhält man die angegebenen Identitäten.

(Autoren: Höllig/Hörner )

Die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}a & b\\ c & d\end{array}\right)$

hat das charakteristische Polynom

$\displaystyle p_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$

mit den Nullstellen

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{(a+d)\pm\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2}\,.$

Bildet man die Summe der Eigenwerte, fällt der Wurzelausdruck weg, und man erhält

$\displaystyle \lambda_1+\lambda_2=\frac{(a+d)+(a+d)}{2}=a+d=\operatorname{Spur} A \,.$

Multipliziert man die Eigenwerte erhält man mit der dritten Binomischen Formel

$\displaystyle \lambda_1 \lambda_2=\frac{(a+d)^2-(a+d)^2+4(ad-bc)}{4}=ad-bc=\operatorname{det} A \,.$

(Autoren: Höllig/Hörner )

automatisch erstellt am 23.5.2011