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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Ausgleichsprobleme

Normalengleichungen

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Für eine beliebige $ m \times n$ Matrix A erfüllt jede Lösung $ x$ des Ausgleichsproblems

$\displaystyle \vert Ax-b\vert \rightarrow \min $

die Normalengleichungen

$\displaystyle A^{\mathrm{t}} Ax = A^{\mathrm{t}} b\,, $

d.h. das Residuum $ r=Ax-b$ ist orthogonal zu dem von den Spalten von $ A$ aufgespannten Unterraum $ \operatorname{Bild} A\,.$
\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalengleichungen}

Geometrisch bedeuten die Gleichungen, dass das Residuum $ r=Ax-b$ senkrecht auf den Spalten der Matrix $ A$ steht.

Die Matrix $ A^{\mathrm{t}} A$ ist quadratisch und hat Dimension $ n$. Sie ist genau dann invertierbar, wenn $ \operatorname{Rang} A = n$, d.h. wenn die Spalten von $ A$ linear unabhängig sind. Die Normalengleichungen sind auch im singulären Fall lösbar, die Lösung ist dann jedoch nicht eindeutig.

(Autoren: App/Höllig)
Aus

$\displaystyle \vert A(x+ty)-b\vert^2 \ge \vert Ax-b\vert^2 $

folgt mit

$\displaystyle (Ax-b)^{\mathrm{t}} y = y^{\mathrm{t}}(Ax-b),\quad r = Ax-b $

die äquivalente Ungleichung

$\displaystyle 2ty^{\mathrm{t}} A^{\mathrm{t}} r + t^2y^{\mathrm{t}} A^{\mathrm{t}} Ay\ge 0\, $

für alle $ t\in\mathbb{R}$ und Vektoren $ y$. Faßt man die linke Seite der Ungleichung als Parabel in $ t$ auf, so ist Nichtnegativität gleichbedeutend mit

$\displaystyle y^{\mathrm{t}} (A^{\mathrm{t}} r)=0\, . $

Dies kann nur dann für alle Vektoren $ y$ gelten, wenn der Ausdruck in Klammern der Nullvektor ist.
(Autoren: App/Höllig)
Für

ALT=

erhält man die Normalengleichungen

ALT=

Dieses lineare Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung ALT=. Das Residuum ist ALT=.

Hat ALT= linear abhängige Spalten, wie in dem Beispiel

ALT=

so sind die Normalengleichungen singulär:

ALT=

Die Lösung

ALT=

ist in diesem Fall nicht eindeutig, wohl aber das Residuum ALT=.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 21.4.2005