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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Rationale Funktionen von Matrizen

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Ist ein Eigenwert $ \lambda$ einer Matrix $ A$ keine Polstelle der rationalen Funktion

$\displaystyle r(t) = \frac{p(t)}{q(t)} = \frac{a_0 + a_1 t + \cdots}{b_0 + b_1 t + \cdots} \,, $

so ist $ r(\lambda)$ ein Eigenwert von

$\displaystyle r(A) = q(A)^{-1} p(A) = p(A) q(A)^{-1} \,. $

Insbesondere ist $ \lambda^k$ ein Eigenwert der Matrix-Potenz $ A^{k}$ und $ 1/\lambda$ ein Eigenwert von $ A^{-1}$ für eine invertierbare Matrix.
(Autoren: Höllig/Hörner )
Aus $ A v = \lambda v$ folgt für $ k\ge0$ dass $ A^k v = \lambda^k v$ und allgemeiner dass

$\displaystyle \left(\sum_k c_k A^k\right) v = \left(\sum_k c_k \lambda^k\right) v \,. $

Weiter gilt

$\displaystyle A v = \lambda v \Leftrightarrow v = \lambda A^{-1} v\,, $

falls $ A$ invertierbar ist.

Ist $ \lambda$ keine Nullstelle des Nennerpolynoms $ q$, so gilt

$\displaystyle q(A) v = q(\lambda) v,\quad q(A)^{-1} v = q(\lambda)^{-1} v\,, $

also

$\displaystyle q(A)^{-1} p(A) v = q(\lambda)^{-1} p(\lambda) v = p(A) q(A)^{-1} v $

wie behauptet.
(Autoren: Höllig/Hörner )
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  automatisch erstellt am 23.5.2011