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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Gleichungen und Ungleichungen

Beispiele Reeller Ungleichungen

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Die Ungleichung

$\displaystyle -x^2 > x-2 \ , \ {D}=\mathbb{R} $

kann z.B. folgendermaßen umgeformt werden:

\begin{displaymath} \begin{array}{crccl} &-x^2 & > & x-2 &\vert-(x-2)\\ \Leftri... ...^2+x-2 &< &0 \\ \Leftrightarrow & (x-1)(x+2) &< &0 \end{array}\end{displaymath}

Graphisch kann man die Lösungsmenge als die $ x$-Werte bestimmen, für die das Schaubild der Funktion $ f(x)=x^2+x-2$ echt unter $ x$-Achse verläuft. Im folgenden Bild ist dieser Bereich grün gekennzeichnet, die Lösungsmenge ist das rot eingezeichnete Intervall $ (-2,1)$ der $ x$-Achse (die Grenzen $ x=-2$ und $ x=1$ sind keine Elemente der Lösungsmenge).

\includegraphics{bild04}

Zur rechnerischen Lösung bestimmt man zunächst die Nullstellen der linken Seite. Diese können aus der letzten der obigen Ungleichungen direkt als $ x_1=-2$ und $ x_2=1$ abgelesen werden. Durch Einsetzten von $ x=0$ in die Ungleichung erkennt man, dass $ x=0$ Element der Lösungsmenge ist. Es gilt also $ x^2+x-2 \leq 0$ für $ -2 \leq x \leq 1$ und damit ist $ {L}=\{x\in \mathbb{R} \ : \ -2 < x < 1\}$ die Lösungsmenge der Ungleichung.

(Autor: Vorkurs Mathematik)
a)
Die Lösungen der Ungleichung

$\displaystyle \frac{x}{x^2-1} \leq 0 \ ; \ x \in \mathbb{R} \setminus \{\pm 1\}$

sind die $ x$-Werte für die der Zähler 0 ist, oder aber für den Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben. Für die graphische Lösung zeichnet man z.B. die Zählerfunktion $ Z(x)=x$ und die Nennerfunktion $ N(x)=x^2-1$ separat ein.

\includegraphics{bild05}

Die roten Bereiche zeigen die Lösungsmenge $ {L}=(-\infty,-1) \cup [0,1)$ der Ungleichnung.

Rechnerisch ergibt sich: Wegen $ x\neq \pm 1$ kann man beide Seiten der Ungleichung mit $ x^2-1$ multiplizieren. Es müssen dann zwei Fälle unterschieden werden:

Fall 1: Ist $ x^2-1 >0$, dann gilt $ x^2>1$ also $ x>1$ oder $ x<-1$. Die Ungleichung wird zu

\begin{displaymath} \begin{array}{crccl} &\displaystyle\frac{x}{x^2-1} & \leq & ... ...ert\cdot(x^2-1)\\ \Leftrightarrow & x & \leq & 0 & \end{array}\end{displaymath}

Mit den Bedingungen aus $ x^2-1 >0$ folgt dann, dass alle $ x<-1$ die Ungleichung erfüllen.

Fall 2: Ist $ x^2-1 <0$, dann gilt $ x^2<1$ also $ -1<x<1$. Die Ungleichung wird dann zu

\begin{displaymath} \begin{array}{crccl} &\displaystyle\frac{x}{x^2-1} & \leq & ... ...ert\cdot(x^2-1)\\ \Leftrightarrow & x & \geq & 0 & \end{array}\end{displaymath}

Mit der Bedingungen $ -1<x<1$ folgt dann, dass alle $ x\in[0,-1)$ die Ungleichung erfüllen. Insgesamt ergibt sich also auch rechnerisch $ {L}=(-\infty,-1) \cup [0,1)$.

b)
Ein einfaches Beispiel für eine Ungleichung die keine Lösung besitzt ist

$\displaystyle x^2+1 \leq 0 \ ; \ x \in \mathbb{R} $

Bei der linken Seite der Ungleichung handelt es sich um eine Normalparabel, die um $ 1$ nach oben verschoben ist. Das Schaubild von $ f(x)=x^2+1$ verläuft strikt oberhalb der $ x$-Achse. Die Lösungsmenge ist also die leere Menge, d.h $ {L}=\emptyset$.
(Autor: Vorkurs Mathematik)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009