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Mathematik-Online-Lexikon:

Koordinatenfreie Definition der Rotation

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Die normale Komponente der Rotation eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes $ \vec{F}$ an einem Punkt $ P$ lässt sich als Grenzwert von Arbeitsintegralen definieren:

$\displaystyle (\vec{n}^\circ \cdot\operatorname{rot} \vec{F})(P) = \lim_{\opera... ... \frac{1}{\operatorname{area}{S}}\, \int\limits_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \,. $

Dabei wird der Grenzwert über eine Folge regulärer Flächen $ S$ mit orientiertem Rand $ {C}:\ t\mapsto \vec{r}(t)$ gebildet, die alle den Punkt $ P$ enthalten und dort die Normale $ \vec{n}$ haben, wobei der größte Abstand zweier Flächenpunkte (diam $ S$) und damit auch der Fächeninhalt gegen null geht.

\includegraphics[clip=true,width=.4\linewidth]{a_rotation_bild_beschriftung}

Das Skalarprodukt auf der linken Seite wird als Wirbelstärke von $ \vec{F}$ um $ \vec{n}(P)$ bezeichnet und ist für $ \vec{n}(P)\parallel\operatorname{rot}\vec{F}$ am größten.

Diese geometrische Charakterisierung der Rotation folgt unmittelbar aus dem Satz von Stokes und dem Mittelwertsatz. Sie zeigt insbesondere, dass $ \operatorname{rot}\vec{F}$ invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen ist.

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013