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Mathematik-Online-Lexikon:

Fourier-Transformation

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Existiert zu einer Funktion $ f$ das Parameterintegral

$\displaystyle \hat{f}(y) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)e^{-\mathrm{i}yx}\,dx $

für alle $ y\in\mathbb{R}$, so heißt $ f$ Fourier-transformierbar und die Funktion $ \hat{f}$ Fourier-Transformierte von $ f$. Man schreibt

$\displaystyle \hat{f} = {\cal F} f \,,\quad \textrm{ bzw. } \quad f(x) \quad\overset{\cal F }{\longmapsto}\quad \hat{f}(y)\,. $

Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation $ {\cal F}^{-1}$ durch

$\displaystyle \hat{f}(y)\quad \overset{{\cal F}^{-1}}{\longmapsto} \quad f(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}(y)e^{\mathrm{i}yx}\,dy\,, $

definiert und es gilt

$\displaystyle f={\cal F}^{-1}{\cal F}f $

für absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen $ f$.

Die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation sind linear. Sie unterscheiden sich nur unwesentlich. Es ist

$\displaystyle {\cal F} \bar{f} = 2\pi \overline{{\cal F}^{-1} f}\,. $

Beispiele:

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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013