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Das mehrdimensionale Riemann-Integral |
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Integration über Quader.
Es seien
und
mit
für alle
.
Es ist
ein n-dimensionaler Quader. Dessen Volumen
ist definiert als
Sei für alle
eine Unterteilung
von
gewählt. Dann heißt das kartesische Produkt
eine Unterteilung des Quaders
Zum Beispiel ist
eine Unterteilung des Quaders
.
Für jedes Tupel
mit
für
heißt
ein Teilquader von
Sei
eine beschränkte Funktion.
Das Volumen zwischen der
-Ebene und dem Funktionsgraphen wird von oben angenähert durch die
Obersumme
und von unten durch die Untersumme
Dabei erstrecken sich die Summen über alle möglichen Tupel
für das Integral von
Anschaulich beziffert das Integral also das Volumen zwischen der
-Ebene und dem Funktionsgraphen,
wobei die Teile unterhalb der
-Ebene negativ zu nehmen sind.
Iterierte Integrale und der Satz von Fubini für Quader.
Für fest gewähltes
betrachte die Quader
mit
Der Satz von Fubini für Quader besagt nun, daß einerseits
gilt, falls alle auftretenden Integrale existieren, und daß andererseits
falls wiederum alle auftretenden Integrale existieren. In diesen Fällen läßt sich das Integral von
Lebesguesche Nullmengen.
Eine Teilmenge
des
heißt Lebesguesche Nullmenge, falls es für alle
eine Folge von
-dimensionalen Quadern
so gibt, daß
Beispiele für Lebesguesche Nullmengen sind etwa
Integration über beschränkte Mengen.
Es seien
beschränkt und
eine Funktion. Wir definieren die Funktion
Es sei
ein
-dimensionaler Quader mit
. Die Funktion
heißt (Riemann-) integrierbar
auf
, falls
integrierbar auf
ist. Dann heißt
das (Riemann-) Integral von
Meßbare Mengen.
Die Menge
heißt (Jordan-) meßbar, falls die konstante Funktion
integrierbar über
ist,
und dann heißt
der (Jordan-) Inhalt von
Zum Beispiel ist ein
-dimensionaler Quader meßbar, und sein Jordaninhalt stimmt mit seinem oben eingeführten Volumen überein.
Eine meßbare Lebesguesche Nullmenge
hat
.
Meßbarkeitskriterium. Eine beschränkte Menge
ist genau dann meßbar, wenn
die Menge der Randpunkte von
eine Lebesguesche Nullmenge ist.
Dabei heißt
ein Randpunkt von
, wenn
ein Berührpunkt von
, jedoch kein
innerer Punkt von
ist. Mit anderen Worten, jede Umgebung von
enthält sowohl Punkte von
als auch vom
Komplement von
.
Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium.
Sei
meßbar. Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium besagt, daß eine beschränkte Funktion
genau dann integrierbar auf
ist, wenn die Menge ihrer
Unstetigkeitspunkte auf
eine Lebesguesche Nullmenge ist.
Insbesondere sind stetige Funktionen auf meßbaren Mengen integrierbar.
Iterierte Integration, der Satz von Fubini und das Cavalierische Prinzip.
Es sei
beschränkt und
. Für jedes
sei
der
der
Ferner sei
und
.
Anschaulich gesprochen ist
die Projektion von
auf die
-Ebene, und
die Projektion
von
auf die
-Ebene.
Der Satz von Fubini besagt nun, daß einerseits
gilt, falls alle auftretenden Integrale existieren, und daß andererseits
falls wiederum alle auftretenden Integrale existieren. In diesen Fällen läßt sich das Integral von
Insbesondere erhalten wir mit
konstant das Cavalierische Prinzip, welches besagt, daß
falls alle auftretenden Integrale existieren.
Regeln.
Es seien
ein beschränkte Menge,
integrierbar auf
und
. Dann gelten folgende Regeln.
Der Schwerpunkt und die erste Guldinsche Regel.
Es sei
eine meßbare Menge mit
.
Dann heißt der Punkt
mit den
Koordinaten
der Schwerpunkt von
Es sei nun
eine meßbare Menge mit Schwerpunkt
.
Es sei
der aus
entstehende Rotationskörper bei Drehung um die
-Achse, definiert durch
Nach der ersten Guldinschen Regel ist der Inhalt von
Mit anderen Worten, der Inhalt des Rotationskörpers
Beispiele:
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |