Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen-Funktionen einer Veränderlichen-Trigonometrische Funktionen-Überlagerung harmonischer Schwingungen

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	Überlagerung harmonischer Schwingungen

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Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen (in der Abbildung fett gezeichnet)

$\displaystyle x_k(t)= c_k \cos (\omega t - \delta_k),\quad k=1,2\,,$

ist harmonisch mit Amplitude

$\displaystyle c=\sqrt{c_1^2+2\cos (\delta_1-\delta_2)c_1 c_2+ c_2^2} \;.$

$\includegraphics[width=.65\linewidth]{a_ueberlag_harm_schw_bild.eps}$

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)

Die Überlagerung zweier Schwingungen $c_k e^{\mathrm{i}\omega_k t}$ läßt sich als Produkt

$\displaystyle c(t)e^{\mathrm{i}\bar \omega t},\quad c(t)=c_1 e^{-\mathrm{i}\Delta\omega t} + c_2 e^{\mathrm{i}\Delta\omega t},$

schreiben mit $\bar \omega=(\omega_1 + \omega_2)/2$ und $\Delta \omega =(\omega_1 - \omega_2)/2$ . Die resultierende sogenannte modulierte Schwingung ist nur dann periodisch, wenn das Frequenzverhältnis $\omega_1/\omega_2$ rational ist.
Der Betrag der modulierten komplexen Amplitude schwankt zwischen dem minimalen und maximalen Wert $\vert c_1 - c_2\vert$ bzw.

. Insbesondere ist

$\displaystyle c(t)=2c \cos(\Delta \omega t)$

für gleiche Amplituden

Die folgenden Abbildungen zeigen einige typische Fälle.

periodische Überlagerung
$\includegraphics[width=.6\linewidth]{e_modulierte_schw_bild1.eps}$
$\cos t + \frac{1}{2} \cos 3t$
gleiche Amplituden und $\omega_1 \approx \omega_2$
$\includegraphics[width=.6\linewidth]{e_modulierte_schw_bild2.eps}$
$\cos 10t + \cos 12t$
aperiodische Überlagerung
$\includegraphics[width=.6\linewidth]{e_modulierte_schw_bild3.eps}$
$2\cos t + 2\cos (\sqrt{5}t+\frac{\pi}{4})$

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automatisch erstellt am 5.1.2017