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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Grundlagen

Quadratische Funktion

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Der Graph einer quadratischen Funktion

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c $

ist eine Parabel der Form

$\displaystyle y=a(x-x_0)^2+y_0 $

mit Scheitel

$\displaystyle (x_0,y_0) = \left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2}{4a}+c\right)\,. $

\includegraphics[bb=140 562 348 717,clip,width=.45\linewidth]{quadratische_funktion}
Wird ein Körper unter einem Winkel $ \varphi$ mit einer Geschwindigkeit $ v$ geworfen, beschreibt die Flugbahn die Parabel

$\displaystyle y=x\tan \varphi - \frac{g}{2v^2\cos^2 \varphi}x^2 $

wobei $ g$ die Erdbeschleunigung ist.

\includegraphics[width=7.4cm]{schraeger_wurf}

Die Gleichung ergibt sich aus der Aufspaltung der gleichförmigen Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit $ v$ in die $ x$- und $ y$-Komponente und der Überlagerung durch die beschleunigte Bewegung des freien Falls:

$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle vt\,\cos \varphi \quad \Rightarrow \quad t = \frac{x}{v \cos \varphi}$  
$\displaystyle y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle vt\,\sin \varphi - \frac{1}{2}\,gt^2$  
$\displaystyle \Rightarrow\,\,y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{vx\,\sin \varphi}{v\,\cos \varphi} - \frac{gx^2}{2v^2\,\cos^2 \varphi} \,=\, x\left(\tan \varphi -\frac{gx}{2v^2\,\cos^2 \varphi}\right).$  

Die Wurfweite ist

$\displaystyle x=\frac{2v^2\cos^2\varphi}{g}\tan\varphi = \frac{v^2}{g} \sin (2\varphi)\,. $

Diese wird maximal für $ \varphi = \pi/4 \,\widehat{=}\, 45^\circ$.
(Autoren: Höllig/Hörner/Knesch)
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  automatisch erstellt am 5.1.2017