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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Differentiation - Ableitungsregeln

Quotientenregel

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Die Ableitung des Quotienten zweier differenzierbaren Funktionen ist

$\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} $

an allen Punkten $ x$ mit $ g(x)\neq 0$. Insbesondere gilt

$\displaystyle \left( \frac{1}{g} \right)'= -\frac{g'}{g^2}\,. $

Die Ableitung der rationalen Funktion

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1-2x}{4+3x^2} $

ist
$\displaystyle \frac{(1-2x)'(4+3x^2) - (1-2x)(4+3x^2)'}{(4+3x^2)^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-2(4+3x^2) - (1-2x)(6x)}{(4+3x^2)^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}$  

Alternativ erhält man mit der Produktregel

$\displaystyle \left( (1-2x) \frac{1}{4+3x^2} \right)' = (-2) \frac{1}{4+3x^2} + (1-2x) \frac{-6x}{(4+3x^2)^2}= \frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}\,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz )
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  automatisch erstellt am 5.1.2017