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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Differentiation - Ableitungsregeln

Kettenregel

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Für die Verkettung von Funktionen

$\displaystyle h(x)= \left( f \circ g\right)(x)=f\bigl( g(x)\bigr) $

ist die Ableitung

$\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x) \:$.

Mit $ f(y) = z, \ g(x) = y, \ h(x) = z$ schreibt man auch

$\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\;\frac{dy}{dx} \:$.$\displaystyle $

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Zur Illustration der Kettenregel wird

$\displaystyle h(x) = \sin\big(\underbrace{\ln (1+x^2)}_{y = g(x)}\big) $

differenziert:

$\displaystyle h'(x) = \frac{d}{dy} \sin(y) g'(x) = \cos \big(\ln (1+x^2)\big) g'(x)\,. $

Die Berechnung der inneren Ableitung $ g'(x)$ erfolgt erneut mit der Kettenregel:

$\displaystyle g'(x) = \frac{1}{1+x^2} (2x)\,. $

Alternativ kann man die differentielle Schreibweise verwenden. Mit $ z = \sin y, y = \ln w, w = 1+x^2$ ist

$\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dw} \frac{dw}{dx} = \cos(y) \frac{1}{w} 2x = \cos\big(\ln(1+x^2)\big) \frac{1}{1+x^2} (2x) \,. $

(Autoren: Höllig/Kopf)
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  automatisch erstellt am 5.1.2017