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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Jordan-Normalform

Zyklische Basen von Haupträumen

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Ein Hauptraum einer komplexen quadratischen Matrix $ A$ lässt sich in eine direkte Summe zyklischer Teilräume zerlegen:

$\displaystyle H_\lambda = V_1 \oplus \cdots \oplus V_\ell\,, $

d.h. jeder der Teilräume $ V_i$ besitzt eine Basis der Form

$\displaystyle B^{k_i}v_i,\,\ldots,\,Bv_i,\,v_i, \quad B=A-\lambda E, $

mit $ w_i = B^{k_i}v_i$ einem Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda$.

Die Matrix $ A$ lässt die Teilräume $ V_i$ invariant und hat dort die Matrixdarstellung

$\displaystyle J_i = \left(\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & 0 \\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda \end{array}\right) \,. $

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  automatisch erstellt am 14.6.2012