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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Quadriken

Grobeinteilung der Quadriken

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Ausgehend von der Gleichung einer Quadrik

$\displaystyle Q:\quad x^{\operatorname t}A x + 2b^{\operatorname t}x + c =0 $

setzt man

\begin{displaymath} \tilde{A} = \left( \begin{array}{c\vert c} c & b^{\operatorname t}\\ \hline b & A \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Mit $ \tilde x^t = (1,x_1,\ldots,x_n)$ kann man $ Q$ auch in der homogenen Form

$\displaystyle Q: \quad \tilde x^t\tilde A\tilde x = 0 $

schreiben.

Man unterscheidet die folgenden Typen:

Gegeben sei die Quadrik

$\displaystyle Q:\quad x_1^2 +\lambda x_2^2 +2x_2 +\lambda =0 $

mit $ \lambda\in\mathbb{R}$, bzw. in Matrixschreibweise

$\displaystyle Q:\quad x^{\operatorname t}A x + 2b^{\operatorname t}x + c =0 $

mit

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \lambda\\ \end{arr... ...0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & \lambda\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Für $ \lambda=0$ ist $ \operatorname{Rang} A =1$, ansonsten ist $ \operatorname{Rang} A =2$. Für $ \lambda=\pm 1$ ist $ \operatorname{Rang} \tilde{A} =2$, ansonsten ist $ \operatorname{Rang} \tilde{A} =3$.

Somit ist $ Q$ für $ \lambda=0$ eine parabolische ( $ \operatorname{Rang}\tilde A=\operatorname{Rang}A+2$), für $ \lambda=\pm 1$ eine kegelige ( $ \operatorname{Rang}\tilde A=\operatorname{Rang}A$) und für alle anderen Werte von $ \lambda$ eine Mittelpunktsquadrik ( $ \operatorname{Rang}\tilde A=\operatorname{Rang}A+1$).

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  automatisch erstellt am 14.6.2012