Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Analytische Geometrie-Quadriken-Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Quadriken
	Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken

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Es existieren 9 verschiedene Typen ebener Quadriken mit den folgenden Normalformen:

Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$ Punkt

$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$ schneidendes Geradenpaar

$\frac{x_1^2}{a_1^2}=0$ Doppelgerade
Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$ (leere Menge)

$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$ Hyperbel

$-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$ Ellipse

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$ (leere Menge)

$-\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$ paralleles Geradenpaar
Parabolische Quadriken

Normalform Bezeichnung

$\frac{x_1^2}{a_1^2}+2x_2=0$ Parabel

Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten $c\ne 0$ . Die Größen werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der Quadrik.

schneidendes Geradenpaar	Doppelgerade
$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_5}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_6}$

Hyperbel	Ellipse
$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_3}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_1}$

paralleles Geradenpaar	Parabel
$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_4}$	$\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalform_quadrik_2d_2}$

Es soll die Normalform und der Typ der Quadrik

$\displaystyle Q: \quad 3x_1^2+3x_2^2+10x_1x_2-14\sqrt{2}x_1-2\sqrt{2}x_2-18=0$

bestimmt werden.

Ausgehend von der Matrixform der quadratischen Form,

$\displaystyle x^{\operatorname t}A x+2b^{\operatorname t}x+c= x^{\operatorname ... ...n{array}{rr}3 & 5 \\ 5 & 3\end{array}\right)x+ 2\sqrt{2}\left(-7,-1\right)x-18$

bestimmt man zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

. Das charakteristische Polynom

$\displaystyle (3-\lambda)^2-25=9-6\lambda +\lambda^2-25 =\lambda^2-6\lambda-16$

hat die Nullstellen

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36+64}}{2}=3\pm5$

Einen normierten Eigenvektor zu $\lambda_1=-2$ erhält man durch Lösen des linearen Gleichungssystems

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr}5 & 5\\ 5 &5\end{array}\right) v_1 = 0$

als $v_1= \frac{1}{\sqrt{2}} (1,-1)^{\operatorname t}$ . Da der zweite Eigenvektor senkrecht auf dem ersten stehen muss, folgt $v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1)^{\operatorname t}$ , wobei das Vorzeichen so gewählt wurde, dass die Determinante der Transformationsmatrix

$\displaystyle U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr} 1 & 1\\ -1 & 1\end{array}\right)$

positiv ist. Die mit

transformierte Gleichung hat die Form

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle x^$ t $\displaystyle Ax+2b^$ t $\displaystyle x+c$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\operatorname t}U^{\operatorname t} AU y+2\left(b^{\operatorname t}U\right)y + c$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -2y_1^2+8y_2^2-12y_1-16y_2-18\,.$

Quadratisches Ergänzen liefert

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle -2y_1^2+8y_2^2-12y_1-16y_2-18$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -2(y_1+3)^2+18+8(y_2-1)^2-8-18$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -2z_1^2+8z_2^2-8$

beziehungsweise

$\displaystyle -\frac{\xi_1^2}{2^2}+\frac{\xi_2^2}{1^2}=1$

: ist also eine Hyperbel mit Halbachsenlängen und und Mittelpunkt

$\displaystyle \xi_M = z_M=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\quad\implies\quad ... ...plies\quad x_M = U y_M = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}-2\\ 4\end{pmatrix}$

$\includegraphics[width=.6\linewidth]{beispiel_572_bild}$

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automatisch erstellt am 14.6.2012

Normalform	Bezeichnung
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$	Punkt
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$	schneidendes Geradenpaar
$\frac{x_1^2}{a_1^2}=0$	Doppelgerade

Normalform	Bezeichnung
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	(leere Menge)
$\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	Hyperbel
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$	Ellipse
$\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$	(leere Menge)
$-\frac{x_1^2}{a_1^2}+1=0$	paralleles Geradenpaar