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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Direkte Methoden

Rückwärts-Einsetzen

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Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform,

$\displaystyle \underbrace{ \left( \begin{array}{lcl} r_{1,1} & \cdots & r_{1,... ...= \left(\begin{array}{l} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right) \,, $

mit $ \det R = r_{1,1} \cdots r_{n,n} \neq 0$ können die Unbekannten $ x_n,\,\ldots,\, x_1$ nacheinander bestimmt werden:

$\displaystyle r_{n,n} x_n = b_n \rightarrow x_n = b_n/r_{n,n} $

und, für $ \ell= n-1, \ldots 1$,

$\displaystyle r_{\ell,\ell} x_\ell + \cdots + r_{\ell,n} x_n = b_\ell, \righta... ...r_{\ell,\ell+1}x_{\ell+1}- \cdots - r_{\ell,n}x_n \right)/r_{\ell,\ell} \,. $

Dabei werden jeweils die schon berechneten Werte $ x_{\ell+1}, \ldots, x_n$ verwendet.

Bei einem linearen Gleichungssystem mit einer unteren Dreiecksmatrix kann man analog nacheinander $ x_1,\,\ldots,\,x_n$ bestimmen.

Für das lineare Gleichungssystem

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccc} 4x_1&+&3x_2&+&x_3&=&6\\ && 2x_2&+&2x_3&=&0\\ &&&&7x_3&=&7\end{array}\end{displaymath}

in Dreiecksform erhält man durch Rückwärtseinsetzen die Lösung
$\displaystyle x_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle x_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0-2)/2=-1$  
$\displaystyle x_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (6-3(-1)-1)=2\,.$  

(Autoren: Höllig/Streit)
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  automatisch erstellt am 14.6.2012