Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Lineare Gleichungssysteme-Direkte Methoden-Gauß-Elimination

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Direkte Methoden
	Gauß-Elimination

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Durch Gauß-Transformationen lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer $(n\times n)$ -Koeffizientenmatrix

in maximal

Schritten auf obere Dreiecksform bringen. Dazu werden sukzessive die Koeffizienten unterhalb der Diagonalen annulliert, d.h. nach $\ell-1$ Schritten hat das lineare Gleichungssystem die Form

$\begin{displaymath}\begin{array}{rrrrrrrrrrcccrrcl} a_{1,1}&x_1&+&a_{1,2}&x_2&+&... ...&&&a_{n,\ell}&x_{\ell}&+&\hdots&+&a_{n,n}&x_n&=&b_n \end{array}\end{displaymath}$

Im einzelnen verläuft der $\ell$ -te Eliminationsschritt wie folgt.

Ist das $\ell$ -te Diagonalelement, das so genannte Pivot-Element, Null, so wird die $\ell$ -te mit einer der folgenden Gleichungen vertauscht, so dass $a_{\ell,\ell}\ne0$ gilt.
Für $i>\ell$ wird von der -ten Gleichung ein Vielfaches der $\ell$ -ten Gleichung subtrahiert, so daß $a_{i,\ell}$ Null wird:

$\displaystyle a_{i,j}\leftarrow a_{i,j} - q_i a_{\ell,j},\quad b_i\leftarrow b_i - q_i b_\ell\quad (q_i = a_{i,\ell}/a_{\ell,\ell})\,$
für $j\ge\ell$ .

Für das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 0&2&1&-1\\ 3&2&0&1\\ 3&1&-2&1\\ 6&4&-1&1 \end{array}\right)x= \left(\begin{array}{r}4\\ 1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

läuft der Gauß-Algorithmus folgendermaßen ab:

Vertauschung der ersten und zweiten Zeile:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 3&2&0&1\\ 0&2&1&-1\\ 3&1&-2&1\\ 6&4&-1&1 \end{array}\right)x= \left(\begin{array}{r}1\\ 4\\ -3\\ 2\end{array}\right)$
(3.Zeile) - (1.Zeile) und (4.Zeile) - $2\cdot$ (1.Zeile):

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&2&0&1\\ 0&2&1&-1\\ 0&-1&-2&0\\ 0&0&-1&-1\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{r}1\\ 4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$
$2\cdot$ (3.Zeile) + (2.Zeile):

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&2&0&1\\ 0&2&1&-1\\ 0&0&-3&-1\\ 0&0&-1&-1\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{r}1\\ 4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$
$3\cdot$ (4.Zeile) - (3.Zeile):

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&2&0&1\\ 0&2&1&-1\\ 0&0&-5&1\\ 0&0&0&-2\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{r}1\\ 4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

(Autoren: Höllig/Streit)

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automatisch erstellt am 14.6.2012