Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Lineare Gleichungssysteme-Direkte Methoden-Zeilenstufenform

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Direkte Methoden
	Zeilenstufenform

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Ein lineares Gleichungssystem mit einer $(m \times n)$ -Koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren:

$\displaystyle Ax = b \rightarrow \underbrace{ \left(\begin{array}{cccc ccc} ... ...ht) = \left(\begin{array}{c} c_1 \\ \vdots \\ c_m \end{array}\right)\, .$

Dabei sind die so genannten Pivots

$\displaystyle p_1=a'_{1,j_1},\ldots,p_k=a'_{k,j_k},\quad k \leq m, \quad 1\le j_1<\cdots<j_k\le n\, ,$

ungleich Null und

ist der Rang von

Der -te Transformationsschritt verläuft wie folgt:

Ein von Null verschiedenes Matrixelement mit kleinstem Spaltenindex und Zeilenindex $\geq k$ wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position gebracht.
Existiert kein Pivotelement, ist die Zeilenstufenform erreicht.
Durch Subtraktion von Vielfachen der Zeile werden die Matrixelemente unterhalb des Pivots annulliert.

Für die Matrix

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 0&0&0&1&5&-3&0&9\\ 0&2&3&0&-1&4&1&... ...0&4&6&1&3&5&2&-5\\ 0&-2&-3&1&6&-7&-1&6\\ 0&0&0&1&5&-3&0&9 \end{array}\right)$

läuft die Transformation auf Zeilenstufenform folgendermaßen ab:

Vertauschung der ersten und zweiten Zeile:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 0&2&3&0&-1&4&1&-2\\ 0&0&0&1&5&-3&0... ...0&4&6&1&3&5&2&-5\\ 0&-2&-3&1&6&-7&-1&6\\ 0&0&0&1&5&-3&0&9 \end{array}\right)$
(3.Zeile) - $2\cdot$ (1.Zeile) und (4.Zeile) + (1.Zeile):

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 0&2&3&0&-1&4&1&-2\\ 0&0&0&1&5&-3&0... ... 0&0&0&1&5&-3&0&-1\\ 0&0&0&1&5&-3&0&4\\ 0&0&0&1&5&-3&0&9 \end{array}\right)$
(3.Zeile) - (2.Zeile), (4.Zeile) - (2.Zeile) und (5.Zeile) - (2.Zeile):

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 0&2&3&0&-1&4&1&-2\\ 0&0&0&1&5&-3&0&9\\ 0&0&0&0&0&0&0&-10\\ 0&0&0&0&0&0&0&-5\\ 0&0&0&0&0&0&0&0 \end{array}\right)$
(4. Zeile) - $\frac{1}{2} \cdot$ (3.Zeile):

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 0&2&3&0&-1&4&1&-2\\ 0&0&0&1&5&-3&0&9\\ 0&0&0&0&0&0&0&-10\\ 0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0 \end{array}\right)$

Die Zeilenstufenform hat $3=\operatorname{Rang}A$ nicht-triviale Zeilen mit den Pivotelementen

und

(Autoren: Höllig/Streit)

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automatisch erstellt am 14.6.2012