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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Direkte Methoden

Zeilenstufenform


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Ein lineares Gleichungssystem mit einer $ (m \times n)$-Koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren:

$\displaystyle Ax = b \rightarrow
\underbrace{
\left(\begin{array}{cccc ccc}
...
...ht)
=
\left(\begin{array}{c} c_1 \\ \vdots \\ c_m
\end{array}\right)\,
.
$

Dabei sind die so genannten Pivots

$\displaystyle p_1=a'_{1,j_1},\ldots,p_k=a'_{k,j_k},\quad
k \leq m, \quad
1\le j_1<\cdots<j_k\le n\,
,
$

ungleich Null und $ k$ ist der Rang von $ A$.

Der $ k$-te Transformationsschritt verläuft wie folgt:

  1. Ein von Null verschiedenes Matrixelement $ p_k$ mit kleinstem Spaltenindex und Zeilenindex $ \geq k$ wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position $ (k, j_k)$ gebracht.

    Existiert kein Pivotelement, ist die Zeilenstufenform erreicht.

  2. Durch Subtraktion von Vielfachen der Zeile $ k$ werden die Matrixelemente unterhalb des Pivots annulliert.


Für die Matrix

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr}
0&0&0&1&5&-3&0&9\\
0&2&3&0&-1&4&1&...
...0&4&6&1&3&5&2&-5\\
0&-2&-3&1&6&-7&-1&6\\
0&0&0&1&5&-3&0&9 \end{array}\right)
$

läuft die Transformation auf Zeilenstufenform folgendermaßen ab: Die Zeilenstufenform hat $ 3=\operatorname{Rang}A$ nicht-triviale Zeilen mit den Pivotelementen $ p_1=2$, $ p_2=1$ und $ p_3=-10$.
(Autoren: Höllig/Streit)

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  automatisch erstellt am 14.6.2012