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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Ausgleichsprobleme

Normalengleichungen

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Für eine beliebige $ m \times n$ Matrix A erfüllt jede Lösung $ x$ des Ausgleichsproblems

$\displaystyle \vert Ax-b\vert \rightarrow \min $

die Normalengleichungen

$\displaystyle A^{\mathrm{t}} Ax = A^{\mathrm{t}} b\,, $

d.h. das Residuum $ r=Ax-b$ ist orthogonal zu dem von den Spalten von $ A$ aufgespannten Unterraum $ \operatorname{Bild} A\,.$
\includegraphics[width=.4\moimagesize]{a_normalengleichungen}

Geometrisch bedeuten die Gleichungen, dass das Residuum $ r=Ax-b$ senkrecht auf den Spalten der Matrix $ A$ steht.

Die Matrix $ A^{\mathrm{t}} A$ ist quadratisch und hat Dimension $ n$. Sie ist genau dann invertierbar, wenn $ \operatorname{Rang} A = n$, d.h. wenn die Spalten von $ A$ linear unabhängig sind. Die Normalengleichungen sind auch im singulären Fall lösbar, die Lösung ist dann jedoch nicht eindeutig.

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  automatisch erstellt am 14.6.2012