Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Normalformen-Eigenwerte und Eigenvektoren-Eigenwert und Eigenvektor

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Eigenwerte und Eigenvektoren
	Eigenwert und Eigenvektor

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Ein Skalar $\lambda$ heißt Eigenwert einer quadratischen Matrix

, wenn

$\displaystyle A v = \lambda v,\quad v\ne 0\,.$

Die Vektoren $v \neq 0$ mit $Av = \lambda v$ werden als Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ bezeichnet. Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden zusammen mit dem Nullvektor einen linearen Raum, den so genannten Eigenraum

$\displaystyle V_\lambda = \operatorname{ker} (A - \lambda E)$

von $\lambda$ .

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Die folgenden Beispiele illustrieren die für reelle $(2\times2)$ -Matrizen möglichen Fälle.

zwei reelle Eigenwerte:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1& 2\\ 2 & 1\end{array}\right)\,, \quad ... ...,, \quad \lambda_2=3\,,\,v_2=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\end{array}\right)\,.$
ein reeller Eigenwert, zwei linear unabhängige Eigenvektoren:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2& 0\\ 0 & 2\end{array}\right)\,, \quad ... ...0\end{array}\right)\,, \,v_2=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\end{array}\right)\,.$
ein reeller Eigenwert, ein Eigenvektor:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1& -1\\ 0 & 1\end{array}\right)\,, \quad \lambda=1\,,\,v_1=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\end{array}\right)\,.$
zwei konjugiert komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1& -1\\ 1 & 1\end{array}\right)\,, \quad... ... v_{1,2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \pm \mathrm{i} \end{array} \right) \,.$

Die folgenden Beispiele illustrieren die für komplexe $(2\times2)$ -Matrizen möglichen Fälle.

zwei Eigenwerte:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}\mathrm{i}& 2\\ 2 & \mathrm{i}\end{array... ...mbda_2=-2+\mathrm{i}\,,\,v_2=\left(\begin{array}{r}1\\ -1\end{array}\right)\,.$
ein Eigenwert, zwei linear unabhängige Eigenvektoren:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2\mathrm{i}& 0\\ 0 & 2\mathrm{i}\end{arr... ...0\end{array}\right)\,, \,v_2=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\end{array}\right)\,.$
ein Eigenwert, ein Eigenvektor:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}\mathrm{i}& -1\\ 0 & \mathrm{i}\end{arra... ...ad \lambda=\mathrm{i}\,,\,v_1=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\end{array}\right)\,.$

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automatisch erstellt am 14.6.2012