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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM II - Lineare Algebra | |
Determinanten |
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Permutationen.
Sei . Eine Permutation von ist eine bijektive Abbildung . Wir schreiben sie als
Die identische Abbildung, die alle Zahlen in festläßt, wird mit oder kurz mit bezeichnet.
Die Menge aller Permutationen von wird mit bezeichnet. Sie enthält Elemente.
Zum Beispiel ist
Zykelschreibweise.
Ein Zykel wird geschrieben als
mit paarweise verschiedenen , und bezeichnet die Permutation, welche auf schickt für , und auf , und die übrigen Elemente von festläßt.
Zum Beispiel ist, in der Reihenfolge wie oben,
Jede Permutation kann als Produkt paarweise disjunkter Zykel geschrieben werden. Zwei Zykel heißen hierbei disjunkt, falls sie kein gemeinsames Element aufweisen. Um diese Zykelschreibweise zu erhalten, verfahre man etwa wie folgt.
Sei . Der erste Zykel ist gegeben durch
wobei minimal sei mit .
Sei minimal unter den Zahlen, die nicht im ersten Zykel auftreten. Der zweite Zykel ist gegeben durch
wobei minimal sei mit .
Sei minimal unter den Zahlen, die nicht in den ersten beiden Zykeln auftreten. Der dritte Zykel ist gegeben durch
wobei minimal sei mit .
Und so fort, bis nach dem -ten Schritt alle Zahlen in abgehandelt sind. Wir erhalten
Da die Kompositionsreihenfolge wegen Disjunktheit der Zykel keine Rolle spielt, wird das Verknüpfungszeichen auch gerne weggelassen.
Zykel der Länge kann man unterschlagen.
So wird zum Beispiel
Signum.
Das Signum oder Vorzeichen einer Permutation
ist gegeben durch
In anderen Worten, ein Zykel gerader Länge hat negatives Vorzeichen, ein Zykel ungerader Länge hat positives Vorzeichen, und zur Bestimmung des Vorzeichens einer Permutation multipliziere man die Vorzeichen ihrer Zykel.
Es ist
für .
Definition der Determinante.
Sei ein Körper, sei , und sei . Sei die Determinante von definiert durch die Leibnizsche Formel
Zum Beispiel ist für mit
Regeln.
Seien . Dann ist
Die Determinante einer oberen Blockdreiecksmatrix berechnet sich zu
Dabei seien quadratische Matrizen beliebiger Größe.
Beachte insbesondere, daß für eine -Matrix gilt, daß
Laplace-Entwicklung.
Sei
Für bezeichne
die Matrix, welche aus hervorgeht durch Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte.
Die Determinante von läßt sich durch die Laplace-Entwicklung nach der -ten Zeile
oder nach der -ten Spalte
berechnen.
Gaußschritte.
Gaußsche Umformungen können verwendet werden, um eine Matrix zwecks Determinantenberechnung zu vereinfachen.
Dasselbe gilt für Spaltenumformungen.
In der Praxis verwendet man häufig Gaußschritte zur Vorbereitung einer Laplace-Entwicklung durch weitgehendes Säubern einer Zeile oder einer Spalte.
Regularität, Cramer.
Sei . Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn .
Genauer, es gilt dann die Cramersche Regel,
In der Praxis verwendet man diese Regel hauptsächlich zur Berechnung einzelner Einträge von .
Flächen- und Volumenberechnung.
Zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm
auf. Sein Flächeninhalt ist gegeben durch .
Drei Vektoren spannen ein Parallelotop
auf. Sein Volumen ist gegeben durch .
Allgemeiner, sei mit . Das von den Spaltenvektoren von aufgespannte -Parallelotop
hat das -dimensionale Volumen .
Ist speziell und , so ist dieses Volumen gleich , wobei mit sei.
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automatisch erstellt am 16.2.2011 |