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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Partielle Ableitungen

Totale Ableitung

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Eine reelle Funktion $ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ist in einem Punkt $ x$ differenzierbar, wenn

$\displaystyle f(x+h) = f(x)+f^\prime(x)h + o(\vert h\vert) $

für $ \vert h\vert\to0$. Die totale Ableitung $ f^{\prime}$ ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen:

\begin{displaymath} f^\prime=\operatorname{J}f= \frac{\partial(f_1,\ldots,f_n)... ...tial_1 f_m & \dots & \partial_n f_m \end{array} \right) \,. \end{displaymath}

Für eine skalare Funktion ($ m=1$) bezeichnet man die Ableitung als Gradient,

$\displaystyle f^\prime = \left(\operatorname{grad}\,f\right)^{\operatorname t}\,,$

und für die Parametrisierung einer Kurve ($ n=1$) als Tangentenvektor.

Um die lineare Approximation kleiner Änderungen ($ \vert h\vert\to0$) hervorzuheben, schreibt man

$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n\, $

mit sogenannten Differentialen $ df$ und $ dx_i$.

Hinreichend für die Existenz der totalen Ableitung $ f^\prime(x)$ ist die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in einer Umgebung von $ x$.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017