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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Partielle Ableitungen

Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen

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Für eine stetig differenzierbare Funktion $ x\mapsto y=f(x)$ lassen sich die Auswirkungen von inakuraten Argumenten $ x+\Delta x \approx x$ mit Hilfe der partiellen Ableitungen von $ f$ beschreiben. Für den absoluten Fehler gilt bei Vernachlässigung von Termen der Ordnung $ o\left( \left\vert \Delta x \right\vert \right)$

$\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \approx f_{x_1}(x)\Delta x_1 + \cdots + f_{x_n}(x)\Delta x_n \,. $

Ist $ \vert x_i\vert,\, \vert y\vert\ne 0\,, $ so folgt für den relativen Fehler

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\Delta y}{\vert y\vert}} \approx \displaystyl... ...\Delta x_1}{\vert x_1\vert} + \cdots + c_n\frac{\Delta x_n}{\vert x_n\vert}} $

mit den Konditionszahlen

$\displaystyle c_i = \frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\vert x_i\vert}{\vert y\vert}\, . $

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  automatisch erstellt am 5.1.2017