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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Taylor-Entwicklung

Newton-Verfahren

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Die Lösung $ x_*\in\mathbb{R}^n$ eines nichtlinearen Gleichungssystems

$\displaystyle f_1(x_*) = \cdots = f_n(x_*) = 0 $

kann mit der durch

\begin{displaymath} \begin{array}{l} f^\prime(x) \Delta x = f(x) \\ x\leftarrow x - \Delta x \end{array}\end{displaymath}

definierten Newton-Iteration bestimmt werden.

Ist $ f$ zweimal stetig partiell differenzierbar und die Jacobi-Matrix $ f^\prime(x_*)$ invertierbar, so konvergiert das Verfahren quadratisch

$\displaystyle \left\vert x_{\text{neu}}-x_*\right\vert \le c \left\vert x_{\text{alt}}-x_*\right\vert^2 $

für Starwerte in einer Umgebung $ U$ von $ x_*$. Insbesondere ist $ \det f^{\prime} (x) \neq 0$ für $ x\in U$, so dass das lineare Gleichungssystem für $ \Delta x$ eindeutig lösbar ist.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017